考点33双曲线一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)【解析】选A.表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m20),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1【解题指南】设出圆与渐近线的交点坐标,表示出四边形ABCD的面积,求解即可.【解析】选D.渐近线OB:y=x,设B,则·x0·x0=,所以x0=1,所以B,所以12+=22,所以b2=12,所以=1.4.(2016·天津高考文科·T4)已知双曲线=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=1【解题指南】利用双曲线的焦距求出c,利用渐近线与直线垂直求出,再根据c2=a2+b2求解.【解析】选A.由题意得c=.双曲线的渐近线为y=±x,因为渐近线与直线2x+y=0垂直,所以(-2)·=-1,所以=.又因为c2=a2+b2,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1.二、填空题5.(2016·浙江高考文科·T13)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【解析】由已知a=1,b=,c=2,则e==2,设P(x,y)是双曲线上任意一点,由对称性不妨设P在右支上,则1|F1F2|2即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>,所以0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得A,代入双曲线方程=1,可得=1,所以e2-1=,又e>1,所以可求得e=2.答案:27.(2016·江苏高考T3)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的焦距是.【解题指南】由双曲线的标准方程得出a,b,再由a,b,c的大小关系求出c.【解析】由可得c2=a2+b2=7+3=10,所以c=,故焦距是2c=2。答案:28.(2016·北京高考理科·T13)双曲线(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=.【解题指南】作图,根据正方形的边长可求出焦点坐标及渐近线方程,从而求出a.【解析】因为正方形OABC的边长为2,所以B(2,0),渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2.答案:29.(2016·北京高考文科·T12)已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=,b=.【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.答案:12
