中难提分突破特训(二)1．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：对任意的n∈N*，Tn<.解(1)当n≥2时，a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，①a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)2n＋2,②①－②，得nan＝(n－1)2n＋1＋2－(n－2)2n－2＝n·2n.∴an＝2n.当n＝1时，a1＝2，也满足．∴an＝2n.(2)证明：bn＝＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋＋…＋＋＝＝－<.∴对任意的n∈N*，Tn<.2．天气预报是气象专家根据观测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义．某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关．(1)天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989求由随机模拟的方法得到的概率值；(2)经过数据分析，一天内降雨量的大小x(单位：毫米)与其出售的快餐份数y成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：降雨量/毫米12345快餐数/份5085115140160试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．(结果四舍五入保留整数)附注：回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b＝，a＝－bx.解(1)题干中20组随机数中恰好含有1,2,3,4中的两个数的有191,271,932,812,393，共5组，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值P＝＝.(2)由题意可知x＝＝3，y＝＝110，b＝＝＝27.5，a＝y－b＝27.5，所以y关于x的回归方程为y＝27.5x＋27.5.将降雨量x＝6代入回归方程得y＝27.5×6＋27.5＝192.5≈193.所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193.3．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝1，AB＝，F是BC的中点．(1)求证：DA⊥平面AA1C；(2)试在线段A1D上确定一点G，使CG∥平面A1AF，并求CG与平面ABCD所成角的正切值．解(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ACB＝∠DAC＝90°，∴DA⊥AC，∵A1A⊥平面ABCD，DA⊂平面ABCD，∴A1A⊥DA，又AC∩A1A＝A，∴DA⊥平面A1AC.(2)设A1D的中点为G，连接AG，CG，在平面A1AD内作GH⊥A1A于点H，则GH∥AD，且GH＝AD，由已知可得FC∥AD，且FC＝AD，连接FH，则四边形FCGH为平行四边形，∴CG∥FH，∵FH⊂平面A1AF，CG⊄平面A1AF，∴CG∥平面A1AF，∴当G为A1D的中点时，CG∥平面A1AF，设S为AD的中点，连接GS，则GS∥A1A且GS＝A1A＝，∵A1A⊥平面ABCD，∴GS⊥平面ABCD，连接CS，则∠GCS为CG与平面ABCD所成的角．∵CS＝AF＝，∴tan∠GCS＝，∴CG与平面ABCD所成角的正切值为.4．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cosθ＝0.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．解(1)由ρ－2cosθ＝0得ρ2－2ρcosθ＝0.∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴x2＋y2－2x＝0，即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1.设曲线C1上的动点M(3cosθ，2sinθ)，由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.∵|MC2|＝＝，∴当cosθ＝时，|MC2|min＝，∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.5．已知不等式|2x－3|0时，|2x－3|
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