考点测试54抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．理解数形结合的思想3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1．抛物线y＝x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案A解析依题意，抛物线x2＝4y的准线方程是y＝－1，故选A．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为()A．4B．6C．8D．12答案B解析依题意得，抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，因此点P到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B．3．到定点A(2，0)与定直线l：x＝－2的距离相等的点的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y答案A解析由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p＝4，焦点在x轴正半轴上，故选A．4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A．B．1C．D．2答案D解析由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2， p>0，∴p＝2，故选D．5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于()A．4B．6C．8D．10答案C解析由抛物线y2＝4x得p＝2，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，又因为x1＋x2＝6，所以|AB|＝8，故选C．6．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点为()A．(1，2)B．(0，0)C．，1D．(1，4)答案C解析解法一：根据题意，直线y＝4x－5必然与抛物线y＝4x2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y＝4x－5平行的抛物线的切线的切点．由y′＝8x＝4得x＝，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该点到直线y＝4x－5的距离最短．故选C．解法二：抛物线上的点(x，y)到直线y＝4x－5的距离是d＝＝＝，显然当x＝时，d取得最小值，此时y＝1．故选C．7．已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x．8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________．答案解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有|PN|＝|NF|，∴|PN|＝|MN|，∠NMF＝∠MNP．又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．8答案D解析根据题意，过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1，2)，N(4，4)，又F(1，0)，所以FM＝(0，2)，FN＝(3，4)，从而可以求得FM·FN＝0×3＋2×4＝8，故选D．10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10答案A解析因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1，0)．由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝．同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)＝4＋1＋1＋k2＝8＋4k2＋≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．故选A．11．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4x1－4x2，所以k＝＝．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′．因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴．因为M(－1，1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，所以k＝2．12．(2018·北...
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