第十一节变化率与导数的概念、导数的运算题号123456答案1.设f(x)为可导函数，且满足lim＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：lim＝lim＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1.答案：B2．(2013·淄博模拟)已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为()A．－1B．1C．±1D．－2解析：f′(x)＝2ax＋3，依题意f′(2)＝7，即4a＋3＝7，得a＝1，故选B.答案：B3．已知物体的运动方程是s＝t3－6t2＋32t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A．2秒或4秒B．2秒或16秒C．8秒或16秒D．4秒或8秒解析：瞬时速度v＝s′＝t2－12t＋32，令v＝0可得t＝4或t＝8.故选D.答案：D4．(2014·合肥模拟)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－4解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.答案：D点评：本题在对f(x)求导时易出错，原因是不能将2f′(1)看成x的系数．5．(2013·天津河东区二模)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.解析：设切点的横坐标为x0，因为曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，所以y′＝－＝，解得x0＝3(舍去x0＝－2)，即切点的横坐标为3.故选A.答案：A6．若曲线y＝x2在点(a，a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于()A．2B．4C.D.解析：∵点(a，a2)在曲线y＝x2上，y′＝2x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝a＝2a，切线方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y1＝－a2，令y＝0，得x1＝，由面积关系得|x1||y1|＝2，即＝2，解得a＝2.故选A.答案：A7．(2013·江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝__________．解析：y′＝αxα－1，则k＝α，故切线方程y＝αx过点(1，2)解得α＝2.答案：28．(2013·山西太原一模)已知a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为__________________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3，因为f′(x)是偶函数，所以该二次函数的对称轴为y轴，所以a＝0，所以k＝f′(0)＝－3，所以切线方程为y＝－3x，即3x＋y＝0.答案：3x＋y＝09．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为______．解析：由题意，得f′(x)＝－f′sinx＋cosxf′⇒＝－f′sin＋cos，∴f′＝＝－1.∴f(x)＝cosx＋sinx，∴f＝cos＋sin＝1.答案：110．(2013·江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．解析：分析：先求出函数f(x)的解析式，进而可求f′(1)．解析：设t＝ex(t＞0)，则x＝lnt，故f(t)＝lnt＋t，f′(t)＝＋1，所以f′(1)＝1＋1＝2.答案：211．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上，因为f′(x)＝3x2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以或所以切线方程为y＋14＝4(x－1)或y＋18＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.12．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线．所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以a的取值范围为∪.
