专题检测（十二）数列A卷——夯基保分专练一、选择题1．(2017·武汉调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝()A．－2B．－1C.D．解析：选B由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中，得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为()A.B．－C.D．－解析：选C当n＝1时，a1＝S1＝x－，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝x·(3n－1－3n－2)＝2x·3n－2， {an}是等比数列，∴a1＝2x·31－2＝x＝x－，∴x＝.3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18B．24C．60D．90解析：选C设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a3a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，故2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋28d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋45d＝60.4．已知等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是()A．4B．5C．6D．7解析：选B 关于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx2＋2a1x＝0的两个实数根，且d<0，∴－＝9，a1＝－.∴an＝a1＋(n－1)d＝d，可得a5＝－d>0，a6＝d<0.∴使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.5．(2018届高三·广东五校联考)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋的值为()A.B.C.D.解析：选A由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2＝2＝.6．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.若首项a1＝，公差d＝1，则满足Sk2＝(Sk)2的正整数k的值为()A．7B．6C．5D．4解析：选D法一：由题意知，Sk2＝＝＝，Sk＝＝＝，因为S＝(Sk)2，所以＝，得k＝4.法二：不妨设Sn＝An2＋Bn，则S＝A(k2)2＋Bk2，Sk＝Ak2＋Bk，由Sk2＝(Sk)2得k2(Ak2＋B)＝k2(Ak＋B)2，考虑到k为正整数，从而Ak2＋B＝A2k2＋2ABk＋B2，即(A2－A)k2＋2ABk＋(B2－B)＝0，又A＝＝，B＝a1－＝1，所以k2－k＝0，又k≠0，从而k＝4.二、填空题7．(2017·长沙模拟)等比数列{an}的公比为－，则ln(a2017)2－ln(a2016)2＝________.解析：因为＝－(n≥2)，故2＝2，从而ln(a2017)2－ln(a2016)2＝ln2＝ln2.答案：ln28．(2018届高三·福建八校联考)在数列中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当是等比数列，且公比q＝1时，不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④9．(2017·福建质检)已知数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，则an取最小值时n的值为_______．解析：由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，所以数列是首项为－40、公差为2的等差数列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，对于二次函数f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，因为n取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n取10或11时，an取得最小值．答案：10或11三、解答题10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得解得故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．11．已知等差数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公差为d，且不等式a1x2－3x＋2＜0的解集为(1，d)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn－an＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1...
