高考数学复习点拨 复合反函数问题的探究VIP专享VIP免费

合反函数问题的探究复合反函数的问题是一个难点，突破此难点的方法是：①充分利用互为反函数的本质特征，即x与y交换；②充分利用互为反函数的转化关系式，即))((1xufy与)()(xfyu互为反函数.下面依题型进行分类探究.1求复合反函数的解析式例1已知1)1(xxxf，则)1(1xf.解由1)1(xxxf，得xxxf1)(.又设)1(1xfy，得)(1xfy，即xxxxfy1111)(，故xxf1)1(1.2求复合反函数的定义域、值域例2已知函数)(xfy的定义域为]8,3(，值域为]2,2[，若该函数存在反函数)(1xfy，则函数)32(1xfy的定义域为，值域为.解由函数)(xfy的值域为]2,2[，得反函数)(1xfy的定义域为]2,2[就是函数)32(1xfy满足2322x，解得340x，故函数)32(1xfy的定义域为]34,0[.又函数)(xfy的定义域为]8,3(，就是反函数)(1xfy的值域为]8,3(，即用心爱心专心函数)32(1xfy的值域为]8,3(.3求复合反函数的图象例3已知函数xy2log的反函数是)(1xfy，则函数)1(1xfy的图象是()(A)y(B)y(C)y(D)yoxoxoxox解取已知函数)(xfy的图象上一点)2,4(，则其反函数)(1xfy图象必过点)4,2(，从而)]1(1[41f，即函数)1(1xfy的图象必过点)4,1(.若取已知函数)(xfy的图象上一点)0,1(，同理可得函数)1(1xfy的图象必过点)1,1(.故选(C).4求复合反函数的性质例4设)(xf是定义在R上的一个减函数，)()()(xfxfxF，那么)(1xF必为()(A)增函数且是奇函数(B)增函数且是偶函数(C)减函数且是奇函数(D)减函数且是偶函数解设)(1xFy，则)(xFy，即)()()(xfxfxFy.用心爱心专心∵)(xf是定义在R上的减函数，且)()()()(xFxfxfxF，∴)()()(xfxfxF是R上的奇函数且是减函数，即原函数)()()(xfxfxFy是R上的奇函数且是增函数.故其反函数)(1xF也是R上的奇函数且是增函数，选(A).5求复合反函数的定点例5若函数)(xfy的图象经过点)1,0(，则函数)4(xfy的反函数图象的必经过点是.解∵函数)(xfy的图象经过点)1,0(，∴函数)4(xfy的图象经过点)1,4(，故函数)4(xfy的反函数必经过点)4,1(.注此题若求函数)4(1xfy的图象经过点，则答案是)0,3(，为什么？6求复合反函数的定值例6设定义在R上的奇函数)(xfy有反函数)(1xfy，又)1(xfy与)2(1xfy互为反函数，则)2005(f()(A)2005(B)-2005(C)4010(D)-4010解由)(xfy是R上的奇函数，得0)0(f.由)2(1xfy，得)(2xfy，(*)用心爱心专心又)1(xfy与)2(1xfy互为反函数，将)1(xfy代入(*)，得)(2)1(xfxf，即2)()1(xfxf.∴)]2003()2004([)]2004()2005([)2005(fffff4010)2(2005)0()]0()1([fff，故选(D).用心爱心专心