第一章坐标系测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.把极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为()A.+y2=B.x2+C.x2+D.+y2=解析:由ρ=cosθ得ρ2=ρcosθ,所以x2+y2=x,即+y2=.故选D.答案:D2.已知点P的柱坐标为,则它的直角坐标为()A.(,1,1)B.(1,1,1)C.(,1)D.(1,0,1)解析:设点P的直角坐标为(x,y,z).则有x=rcosθ=cos=1,y=rsinθ=sin=1,z=1.故点P的直角坐标为(1,1,1).答案:B13.设点P的直角坐标为(4,4,4),则它的球坐标为()A.B.C.D.解析:设点P的球坐标为(r,φ,θ).则r==8,tanθ==1.又 x>0,∴θ=. 4=8·cosφ,∴cosφ=. 0≤φ≤π,∴φ=.∴点P的球坐标为.答案:A4.在极坐标系中,点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()A.2B.C.D.2解析:圆ρ=2cosθ在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点的直角坐标为(1,),则圆心(1,0)与(1,)的距离为d=.答案:D5.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是()A.B.C.(1,0)D.(1,π)解析:由题意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标为.答案:B6.圆心在点(3,0)上,且过极点的圆的极坐标方程为()A.ρ=6cosθB.ρ=6sinθC.ρ=3cosθD.ρ=3sinθ解析:圆的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9,从而极坐标方程为ρ=6cosθ.答案:A7.在极坐标系中,直线ρcosθ=1与圆ρ=cosθ的位置关系是()A.相切B.相交但直线不经过圆心C.相离D.相交且直线经过圆心解析:直线方程化为直角坐标方程为x=1,圆的方程可化为+y2=,所以直线与圆相切.答案:A8.极坐标方程ρ=cos表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解析:由于ρ不恒等于0,方程两边同乘ρ,3得ρ2=ρcos=ρ(ρcosθ+ρsinθ),在以极点为原点,以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,因此有x2+y2=(x+y),即方程ρ=cos表示圆.此题还有另一种思路:极坐标方程ρ=2acosθ表示圆,而与极轴的旋转有关,它只影响圆心的位置,而不改变曲线的形状,故方程ρ=cos表示圆.答案:D9.极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:由已知得sinθ=±,所以θ=kπ±,k∈Z,表示相交于原点的两条直线.答案:B10.点M关于直线θ=(ρ∈R)的对称点的极坐标为()A.B.C.D.解析:点M的直角坐标为,直线θ=(ρ∈R),即直线y=x,点关于直线y=x的对称点为,再化为极坐标,即.答案:A411.直线l为y+kx+2=0,曲线C为ρ=2cosθ有交点,若直线l与曲线C有交点,则k的取值范围是()A.k≤-B.k≥-C.k∈RD.k∈R,且k≠0解析:曲线C的方程可化为x2+y2=2x,把直线方程代入得x2+(-kx-2)2-2x=0.整理可得(1+k2)x2+(4k-2)x+4=0,由题意此方程有实根,即Δ=(4k-2)2-16(1+k2)≥0,解不等式得k≤-.答案:A12.导学号73144018在极坐标系中有如下三个结论:①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;②tanθ=1(ρ≥0)与θ=(ρ≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是()A.①③B.①C.②③D.③解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①是错误的;tanθ=1不仅表示θ=这条射线,还表示θ=这条射线,故②亦不对;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为3的圆,故③正确.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.极坐标方程分别为ρ=2cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距为.解析:由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.由ρ=sinθ,得ρ2=ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+.所以两个圆的圆心分别为(1,0)和,故d=.答案:514.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ,则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析:由得4cos2θ=3.即2(1+cos2θ)=3,cos2θ=.又 0≤2θ<π,∴θ=.故ρ=2.故曲线C1与C2的交点的极坐标为.答案:15.在极坐标系中,已知定点A,点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动,则当线段AB最短时,点B的极坐标是.解析:在直角坐标系中,点A坐标为(0,1),点B在直线x+y=0上,当AB最短时,点B为,化为极坐标为.答案:16.在极坐标系中,曲线C1为ρ=2cosθ,曲线C2为θ=,若曲线C1与C2交于A,B两点,则线段AB=.6解析:曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由即曲线C1...
