第3课时排序不等式A．基础巩固1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz【答案】B【解析】根据排序原理：反序和≤乱序和≤顺序和，又B选项为反序和，A选项为顺序和，C，D选项为乱序和，所以B选项的费用最低．2．在锐角三角形ABC中，a
QC．P≤QD．PcosB>cosC．顺序和为P＝acosC＋bcosB＋ccosA，乱序和为Q＝acosB＋bcosC＋ccosA．由排序原理，知顺序和>乱序和，所以P>Q.3．已知a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是()A．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2aB．a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋c2aC．a3＋b3＋c3>＞…>，又由排序不等式知：顺序和≥乱序和≥反序和，所以＋＋＋…＋≥＋＋＋…＋≥1×1＋2×＋3×＋…＋n·＝1＋＋＋…＋.故min＝1＋＋…＋.5．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn的值不会超过____________．【答案】a＋a＋…＋a【解析】∵乱序和≤顺序和，∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a＋a＋…＋a.16．设集合＝，＝，则a1b1＋a2b2＋a3b3的最小值为______，最大值为______．【答案】1620【解析】根据排序原理：反序和≤乱序和≤顺序和，所以反序和最小，顺序和最大．故(a1b1＋a2b2＋a3b3)min＝1×4＋2×3＋3×2＝16，(a1b1＋a2b2＋a3b3)max＝1×2＋2×3＋3×4＝20.7．设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋a3＋…＋an.【解析】不妨设a1≥a2≥a3≥…≥an，则a≥a≥a≥…≥a，≤≤≤…≤.由排序原理：乱序和≥反序和，可得＋＋…＋≥＋＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an.B．能力提升8．已知a，b，c为正数且两两不相等，求证：2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．【证明】不妨设a＞b＞c＞0，则a2＞b2＞c2.根据排序原理知，a3＋b3＞a2b＋ab2，同理可得a3＋c3＞a2c＋ac2，b3＋c3＞b2c＋bc2，三式相加，得2(a3＋b3＋c3)＞a2b＋ab2＋a2c＋ac2＋b2c＋bc2＝a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．即2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)得证．2
