课时作业(六)数列的递推公式(选学)A组(限时：10分钟)1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则通项公式为()A．an＝1B．an＝2n－1C．an＝nD．an＝n＋1解析：由an＝an－1＋1知an－an－1＝1，∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为an＝n.答案：C2．已知数列an<0，且2an＋1＝an，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法判断解析： an<0，∴an＋1－an＝an－an＝－an>0.∴数列{an}是递增数列．答案：A3．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝________.解析：由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，∴a5＝a4＋a3＝8.答案：84．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n≥3)，则a2014＝________.解析：由anan－2＝an－1，得an＝(n≥2)，∴a3＝＝2，a4＝＝1，a5＝＝，a6＝＝，a7＝＝1，….可知数列{an}具有周期性，周期为6，∴a2014＝a6×335＋4＝a4＝1.答案：15．已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝2an，n∈N*，则a2013＝________；a2014＝________.解析：a2013＝a504×4－3＝1，a2014＝2a1007＝2a4×252－1＝0.答案：10B组(限时：30分钟)1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)．则a6等于()A．7B．11C．16D．17解析：由题可知a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝1＋1＋2＋3＋4＋5＝16.答案：C2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2013等于()A．－B.C．2D．－2解析： an＋2＝－＝an，∴数列奇数项相同，偶数项相同，∴a2013＝a1＝2.答案：C3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1a2a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于()1A.B.C.D.解析：由已知得⇒a3＝，⇒a5＝，∴a3＋a5＝.答案：C4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1B.n－1C．n2D．n解析：方法一：由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝.∴数列是常数列．且＝＝1，∴an＝n.方法二：累乘法：n≥2时，＝，＝…＝＝两边分别相乘得＝n.又 a1＝1，∴an＝n.答案：D5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝2n－1C．an＝n－1D．an＝1＋n解析：方法一：由已知a1＝1＝21－1，a2＝2×1＋1＝3＝22－1，a3＝2×3＋1＝7＝23－1，…，由此归纳得an＝2n－1.方法二： an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2，用累乘法可得an＋1＝2n.∴an＝2n－1.答案：A6．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键()A．6n个B．(4n＋2)个C．(5n－1)个D．(5n＋1)个解析：各图中的短线依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，若视6为5＋1，则这个数列1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图的化学键个数应为an＝5n＋1.答案：D7．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a9等于________．解析：a1＝∈，2∴a2＝2a1－1＝，∴a3＝2a2－1＝∈，∴a4＝2a3＝，同理a5＝，a6＝，a7＝，a8＝，a9＝.答案：8．数列{an}中a1＝1，a2＝3，a－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝________.解析：令n＝2得a－a1·a3＝－1，∴a3＝10.令n＝3代入，得a－a2a4＝(－1)2，∴a4＝33.答案：339．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2014＝________.x12345f(x)41352解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5＝x0，从而数列{xn}是周期为4的数列，于是a2014＝a4×503＋2＝a2＝1.答案：110．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.解： an＋1＝，∴an＋1(an＋2)＝2an.∴an＋1an＝2an－2an＋1.两边同除以2an＋1an，得－＝.∴－＝，－＝，…，－＝.把以上各式累加得－＝.又 a1＝1，∴an＝.故数列{an}的通项an＝(n∈N*)．11．已知数列{an}，a1＝a(a＞0，a≠1)，an＝a·an－1(n≥2)，定义bn＝an·lgan，如果数列{bn}是递增数列，求a的取值范围．解：由于a1＝a，an＝a·an－1(n≥2)，则＝a.∴an＝··…···a1＝a·a·…·a·a·a＝an，∴bn＝an·lgan＝an·lgan＝nan·lga.由bn＜bn＋1得nan·lga＜(n＋1)an＋1·lga①(1)当a＞1时，lga＞0...
