第7讲立体几何中的向量方法配套课时作业1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案C解析 cos〈m，n〉＝＝＝，∴〈m，n〉＝45°.∴二面角为45°或135°.故选C.2．(2019·邯郸模拟)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．135°答案B解析以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，EF＝，1DC＝(0,1,0)，∴cos〈EF，DC〉＝＝－，∴〈EF，DC〉＝135°，∴异面直线EF和CD所成的角是45°.故选B.3．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为()A.B.C．±D.答案C解析设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得∴n＝.∴平面ABC的单位法向量为±＝±.4．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，BP＝(x－1，y，－3)．若AB⊥BC，且BP⊥平面ABC，则BP＝()A.B.C.D.答案D解析 AB⊥BC.∴AB·BC＝0，即1×3＋5×1－2×z＝0，解得z＝4.又BP⊥平面ABC，∴有即解得∴BP＝.故选D.5．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B.C．4D．2答案A解析 A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，∴AB＝(4，－5,0)，AC＝(0,4，－3)． 点D在直线AC上，∴设AD＝λAC＝(0,4λ，－3λ)，由此可得BD＝AD－AB＝(0,4λ，－3λ)－(4，－5,0)＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又 BD⊥AC，∴BD·AC＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－.因此BD＝(－4,4λ＋5，－3λ)＝.可得|BD|＝＝5.6．(2018·沧州七校联考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为()A．120°B．30°C．90°D．60°答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，C(0，0，)，D(0，－，0)，2∴AD＝(－，－，0)，BC＝(0，－，)．∴|AD|＝2，|BC|＝2，AD·BC＝2.∴cos〈AD，BC〉＝＝＝.∴异面直线AD，BC所成的角为60°.故选D.7．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.答案D解析如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0，0,0)，B(2,2,0)，∴D1A1＝(2,0,0)，DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.B.C.D.3答案D解析取AC中点E，令AB＝2，分别以EB，EC，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系．B1(，0,2)，C(0,1,0)，A(0，－1,0)，D(0，0,2)，DB1＝(，0,0)，DC＝(0,1，－2)，DA＝(0，－1，－2)，平面B1DC法向量为n＝(0,2,1)，可得cos〈DA，n〉＝－，所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为＝.9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则即∴∴n1＝(1,2,2)．4又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.故选B.10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为()A.B.C.D.答案B解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，设BP＝λBD1，可得P(λ，λ，λ)，再由cos∠APC＝可求得当λ＝时，∠APC最大，故VP－ABC＝××1×1×＝.11．如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________．答案解析 AE∶ED∶AD＝1∶1∶，∴AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0，2,1)，5∴AF＝(－1,2,0)，EC＝(0,2,1)，∴cos〈AF，EC〉＝＝＝，...
