第三节圆的方程Ｋ一、圆的标准方程设圆心C坐标为(a，b)，半径是r，则圆C的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，圆心为O(0，0)时，标准方程为x2＋y2＝r2．二、圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径r＝．1．圆心为(－1，0)，半径为2的圆的标准方程为(C)A．x2＋(y＋1)2＝4B．x2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋y2＝4D．(x－1)2＋y2＝42．点(sinθ，cosθ)与圆x2＋y2＝2的位置关系是(B)A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．无法确定3．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4．解析：AB的垂直平分线为y＝x，由得圆心M(1，1)，故半径r＝|AM|＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.4．已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称．直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18．解析：圆心的坐标为(0，－1)，所以r2＝32＋＝18，圆的方程为x2＋(y＋1)2＝18.高考方向1.圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考命题的热点.2.常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查.3.题型以选择题、填空题为主，有时也会以解答题的形式出现.1．(2013·山东卷)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(A)1A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0解析：如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，所以kAB＝－2，所以直线AB的方程为：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.2．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(A)A.πB.πC．(6－2)πD.π解析：以A，B为直径的圆过原点，又圆与直线相切，所以圆心到原点的距离等于圆心C到直线的距离，为圆的半径．如图，过原点O作OD垂直直线2x＋y－4＝0于点D，则O到直线的最小距离为|OD|，当圆心为OD中点时且以OD为直径时，圆的直径最小，即半径最小，|OD|＝＝，此时圆的最小面积为S＝π()2＝π，故选A.1．已知圆C的方程为：(x－2)2＋y2＝25，则过M(0，1)的圆C的对称轴所在的直线方程为x＋2y－2＝0．解析：由(x－2)2＋y2＝25得圆心C(2，0)，又圆C的对称轴过M(0，1)，由直线方程的两点式得：＝，整理得：x＋2y－2＝0.所以过M(0，1)的圆C的对称轴所在的直线方程为x＋2y－2＝0.2．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线y＝5x－4对称的圆的方程是(B)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋1)2＝1解析：圆心(1，1)在y＝5x－4上，∴所求方程不变，还是(x－1)2＋(y－1)2＝1，故选B.2课时作业1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(B)A．－1B．1C．3D．－3解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.因为直线经过圆的圆心(－1，2)，所以3×(－1)＋2＋a＝0，得a＝1.故选B.2．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是(C)A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D.＋y2＝解析：设中点M(x，y)，由中点公式得点A(2x－3，2y)． 点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(C)A．(－∞，2]B．(－∞，2)C.D.解析： D2＋E2－4F＝2－4m，要使方程表示圆，则2－4m＞0，∴m＜.故选C.4．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为(D)A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，即(x＋a)2＋(y－2a)2＝4表示以(－a，2a)为圆心，2为半径的圆，当－a<－2且2a＞0，即a>2时，曲线C上所有的点均在第二象限内，故选D.5．(2013·吉林模拟)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(A)A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，得b＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a>0，解得a<2，...
