第六讲三角函数性质的应用一．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ二.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0三.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径【套路秘籍】---千里之行始于足下【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一求解析式【例1】（1）函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为.（2）已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<π2，则（）A．A=4B．ω=1C．φ=π6D．B=4【答案】（1）f(x)=sin(2x+)（2）C【解析】（1）由图可知A=,=-=,所以T=π,故ω=2,因此f(x)=sin(2x+).又函数图象过点(,0)因此2×+=π+2kπ,k∈Z,又根据||<π,所以=,故f(x)=sin(2x+).（2）如图根据函数的最大值和最小值得¿求得A=2,B=2函数的周期为(5π12−π6)×4=π，即π=2πω,ω=2当x=π6时取最大值，即sin(2×π6+φ)=1,2×π6+φ=2kπ+π2 |φ|<π2∴φ=π6故选：C．【套路总结】由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定解析式的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．【举一反三】1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin【答案】A【解析】由图可知，A＝2，最小正周期T＝π，所以ω＝＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)。又因为图象过点，所以2sin＝2，即＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，得φ＝－，所以y＝2sin。2.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.【答案】【解析】由题干图象知＝2×＝，所以ω＝2.因为2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，这时f(x)＝Atan.又函数图象过点(0,1)，代入上式得A＝1，所以f(x)＝tan.所以f＝tan＝.3．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，则函数f(4x)图象的对称中心为__________.【答案】(kπ3,1)，k∈Z【解析】由题意，根据函数的图象可知A+B=3，且−A+B=−1，得A=2,B=1，则f(x)=2sin(ωx+φ)+1，又由T2=2π−2π3=4π3，即T=8π3，又由2πw=8π3，得w=34，由五点对应法得2π3×34+φ=π2，得φ=0，即f(x)=2sin(34x)+1，则f(4x)=2sin(34×4)+1=2sin(3x)+1，令3x=kπ，得x=kπ3，即函数的对称中心为(kπ3,1),k∈Z，故答案为：(kπ3,1),k∈Z．4.若直线x＝π和x＝π是函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ＝______________.【答案】kπ－π，k∈Z【解析】由题意，函数的周期T＝2×＝2π，∴ω＝＝1，∴y＝cos(x＋φ)，当x＝π时，函数取得最大值或最小值，即cos＝±1，可得π＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－π，k∈Z.考向二伸缩平移【例2】（1）要得到函数y=❑√3cos2x+sinxcosx−❑√32的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π6个单位D．向右平移π6个单位（2）要得到函数y=❑√2cosx的图象，只需将y=❑√2cos（2x+π4）的图象所有点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位长度C．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度D．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位长度（3）若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】（1）C（2）A（3）A...
