第九节抛物线(一)一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．1二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py图形焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e＝1焦半径＝＋x1＝＋＝＋y1＝＋1．已知抛物线y2＝2px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为(D)A．x＝8B．x＝－8C．x＝4D．x＝－4解析：由题意得1＋＝5，故p＝8，所以准线方程为x＝－＝－4，故选D.2．一动圆的圆心在抛物线x2＝－8y上，且动圆恒与直线y－2＝0相切，则动圆必过定点(D)A．(4，0)B．(0，－4)C．(2，0)D．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)．故选D.3．若动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为y2＝8x．解析：由抛物线定义知点P的轨迹是以F(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以p＝4，所以其方程为y2＝8x.4．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为4．解析：椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2，0)，则p＝4.1．(2013·四川卷)抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(B)2A.B.C．1D.解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，双曲线x2－＝1的渐近线是y＝±x，即x±y＝0，所以所求距离为＝.故选B.2．已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值．解析：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.故AD·EB＝(AF＋FD)·(EF＋FB)＝AF·EF＋AF·FB＋FD·EF＋FD·FB＝|AF|·|FB|＋|FD|·|EF|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4≥8＋4×2＝16.当且仅当k2＝，即k＝±1时，AD·EB取最小值16.1．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为．解析：因为y2＝4x，所以p＝2，焦点坐标为F(1，0)，依题意可知当P，Q和R三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x＝.32．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F的距离与到定直线l：x＝－1的距离相等．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F作倾斜角为45°的直线m交轨迹E于点A，B，求△AOB的面积．解析：(1)设P，由抛物线定义知，点P的轨迹E为抛物线，方程为y2＝4x.(2)m：y＝x－1，代入y2＝4x，消去x得y2－4y－4＝0.设A，B，则y1，y2为方程的两实根，于是y1＋y2＝4，y1·y2＝－4.则＝＝4，所以S△AOB＝××＝×1×4＝2.课时作业1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(B)A.B．－C．4D．－4解析：抛物线方程变为x2＝y，因为准线方程为y＝1，所以－＝1，得a＝－.故选B.2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(B)A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x解析：由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．又 其准线方程为x＝－＝－2，∴p＝4，所求抛物线方程为y2＝8x.故选B.3．(2013·安徽合肥模拟)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(B)A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x...
