2.1.1直线的倾斜角和斜率[A.基础达标]1．下列说法中正确的是()A．每一条直线都唯一对应一个倾斜角B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为90°C．若直线的倾斜角存在，则有斜率与之对应D．若直线的倾斜角为α，则sinα＞0解析：选A.对于B，与y轴垂直的直线的倾斜角为0°，所以B错；对于C，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，所以C错；对于D，当α＝0°时，sinα＝0，所以D错．2．如图，直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，l2与x轴相交于点A，l2与l1相交于点B，l1与x轴交于点C，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为()A．60°B．45°C．30°D．20°解析：选C.由题意知∠BAC＋∠ABC＝150°，即∠BAC＋90°＝150°，则∠BAC＝60°，于是l3的倾斜角为30°，选C.3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为()A.B．－C．－2D．2解析：选A.k＝＝，解得m＝.4．如图，已知△AOB是等边三角形，则直线AB的斜率等于()A.B．－C.D．－解析：选D.因为△AOB是等边三角形，所以∠ABO＝60°.于是直线AB的倾斜角为120°，故AB的斜率为tan120°＝－.5．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D.设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知，α1＞90°＞α2＞α3＞0°，所以k1＜0＜k3＜k2.6．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________．解析：若平面内三点共线，则kAB＝kBC，即＝，整理得a2－2a－1＝0，解得a＝1＋，或a＝1－(舍去)．答案：1＋7．已知直线l经过点A(5，10)，B(m，12)，且直线l的倾斜角是锐角，则m的取值范围是________．解析：由于直线的倾斜角是锐角，所以kl＝kAB＝＞0，即＞0，因此m＞5.答案：m＞58．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．解析：设P(x，0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2·，解得x＝－5.答案：(－5，0)9.如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．解：直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°，kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，kAC＝，kBD＝－.10．一条光线从点A(－1，3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3，1)，求P点的坐标．(提示：入射光线斜率与反射光线斜率互为相反数)解：设P(x，0)，则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意得kPA＝－kPB，即＝，解得x＝2，即P(2，0)．[B.能力提升]1．已知两点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为()A．a＝3，b＝1B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3D．a＝3，b∈R，且b≠1解析：选D.因为直线AB的倾斜角为90°，所以直线AB与x轴垂直，即直线AB的斜率不存在，因此必有即a＝3，b∈R，且b≠1.2．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A．k≥2或k≤B.≤k≤2C．k≥D．k≤2解析：选A.如图，kPA＝＝2，kBP＝＝，所以，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤.3．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，则m的值为________．解析：由题意得＝tan45°＝1，解得m＝－2或m＝－1.又m2＋2≠3－m－m2，所以m≠－1，且m≠，所以m＝－2.答案：－24．经过点A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)解析：当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m>1时，直线的斜率为k＝＝，因为m>1，所以k>0，故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.综上可知，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°.答案：(0°，90°]5．已知A(2，4)，B(3，3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k＝(x2≠x1)，求的取值范围．解：设k＝，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1，1)连线的斜率．如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，因为kBQ＝＝1，kAQ＝＝3，所以1≤k≤3，即的取值范围是[1，3]．6．(选做题)已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，...
