第4讲基本不等式1．当x>0时，函数f(x)＝有()A．最小值1B.最大值1C．最小值2D．最大值2解析：选B.f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.2．下列不等式一定成立的是()A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)解析：选C.对选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lgx；对选项B，当sinx<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，因为x2＋1≥1，所以0<≤1.故选C.3．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则()A．R
b>1，所以lga>lgb>0，(lga＋lgb)>，即Q>P.因为>，所以lg>lg＝(lga＋lgb)＝Q，所以R>Q，所以P0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，所以＋＝＝＋＋≥＋2＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．答案：7．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝________．解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，>0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案：38．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．解析：因为2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，所以≤，所以2x＋y≤，得x＋y≤－2.答案：(－∞，－2]9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设00，所以＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.(2)因为00，所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.1．已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是()A．9B.C．4D．解析：选B.将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，所以a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.2．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是()A．1B.C．9D．16解析：选B.＋＝·＝≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.3．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．解析：设＝m，＝n，则m，n均大于零，因为m2＋n2≥2mn，所以2(m2＋n2)≥(m＋n)2，所以m＋n≤·，所以＋≤·＝3，当且仅当＝，即a＝，b＝时“＝”成立，所以所求最大值为3.答案：34．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>1，b>2)的最大值为5，则＋的最小值为________．解析：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A(1，1)．由z＝ax＋by(a>1，b>2)，得y＝－x＋，由图可知，zmax＝a＋b＝5.可得a－1＋b－2＝2.所以＋＝(a－1＋b－2)＝≥＝.当且仅当b＝2a时等号成立，并且a＋b＝5，a>1，b>2即a＝，b＝时上式等号成立．所以＋的最小值为.答案：5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求：(1)u＝lgx＋lgy的最大值；(2)＋的最小值．解：(1)因为x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.所以u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.所以当x＝5，...
