组合恒等式证明八法童广鹏二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式，这些等式常通过简捷的组合分析得到证明，本文举例说明。一、公式法例1.求证：。证明：由，，…，，，，整理即。点评：运用基本组合数公式进行转换，如：，等是处理组合恒等式的常用方法，同时，在上述恒等式中，取n=1，2，…可以推出一系列新等式，如（1）由，得1+2+…+，（2）由得等，可见本题的结论具有示范作用。二、二项式定理法例2.求证：。证明：因为，令，得，故。点评：对二项式定理自身作乘法、赋值和求积等运算获得一些恒等式，根据二项展开式的特性，赋予x以不同的值，常能使问题迎刃而解。三、倒序求和法例3.求证：。证明：令，故，用心爱心专心。点评：恒等式可逆用二项式定理获求。四、组合分析法例4.求证：。证明：构造等式左边的等价数学模型：m名男生n名女生，从中取n人参加数学竞赛可分为n+1类，男生0人、1人、…、n人，女生对应分别为n、n-1人、…，0人，共有选法为种，又由组合数定义知所求选法为种，命题成立。点评：对等式两端所代表的组合含义进行分析，说明等式两端恰好是对同一组合模型进行计数，或是对已经建立一一对应关系的两个组合模型进行计数即得。五、比较系数法例5.求证：。证明：由于，其中含有项的系数为。而，其中含有项的系数为，同时，故。点评：由多项式恒等对应项系数相等获求。在本题中，对m，n，k取特殊关系有（1）时，；（2）时，等。六、递推公式法例6.求证：。证明：设右边，则由恒等式得，故，整理即，用心爱心专心而，故有。点评：本题由递推关系及初始条件进行证明，其中数列的递推思想得到了体现。七、求导法例7.求证：。证明：对两边的x求导得，上式两边乘以x后再求导得，取得，即证。点评：导数是一个重要的数学工具，寻找原模型进行求导自然流畅。八、概率法例8.求证：。证明：设一个袋子中有n个白球和n个黑球，从中任取n个，求P（A）=P（至少有一个白球），一方面，不取白球的概率为，有P（A）；另一方面，取到k个白球的概率为，故有P（A）=，同乘移项即证。点评：概率法的关键是将组合模型建立在概率的背景之下。用心爱心专心
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