高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式自主训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

3.2一般形式的柯西不等式自主广场我夯基我达标1.已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4思路解析：(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a12+a22+…+an2)(x12+x22+…+xn2)=1×1=1.∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.答案：A2.已知x,y,z∈R+且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是()A.1B.31C.32D.2思路解析：根据柯西不等式，x2+y2+z2=31(12+12+12)(x2+y2+z2)≥31(1×x+1×y+1×z)2=31(x+y+z)2=31.答案：B3.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.n1思路解析：设n个正数为x1,x2,…,xn，由柯西不等式，得(x1+x2+…+xn)(nxxx11121)≥(nnxxxxxx1112211)2=(1+1+…+1)2=n2.答案：C4.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A.56B.356C.3536D.6思路解析：由柯西不等式，得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×2225311≥(1×x+3×y+5×z)2×363635163512.答案：C5.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为()A.65,910,35B.2940,2930,2920C.1，21，31D.1，91,41思路解析：当且仅当2x=43zy时，取到最小值，所以联立,10432,432zyxzyx可得2940,2930,2920zyx.1答案：B6.已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求141414cba的最大值.解：由柯西不等式，得(141414cba)2=(1×14a+1×14b+1×14c)2≤(12+12+12）（4a+1+4b+1+4c+1)=3［4(a+b+c)+3］=21.当且仅当a=b=c=31时，取“=”.故141414cba的最大值为21.我综合我发展7.三角形三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc，r为三角形内切圆半径.若ha+hb+hc的值为9r.试判断此三角形的形状.思路解析：记三角形的面积为S，则2S=aha=bhb=chc，又因为2S=r(a+b+c),所以ha+hb+hc=2S(a1+b1+c1)=r(a+b+c)(a1+b1+c1).由柯西不等式，得(a+b+c)(a1+b1+c1)=［(a)2+(b)2+(c)2］［(a1)2+(b1)2+(c1)2］≥［a×a1+b×b1+c×c1］2=9.当且仅当a=b=c时取等号.所以ha+hb+hc=9r,当且仅当a=b=c时取等号.故ha+hb+hc=9r时，三角形为等边三角形.8.△ABC的三边长为a,b,c，其外接圆半径为R.求证：(a2+b2+c2)(CBA222sin1sin1sin1)≥36R2.证明：由三角形的正弦定理，得sinA=Ra2,所以2224sin1aRA.同理，2222224sin1,4sin1cRCbRB.2于是左边=(a2+b2+c2)(222222444cRbRaR)≥(a×aR2+b×bR2+c×cR2)2=36R2.9.求实数x,y的值，使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.解：由柯西不等式，得(12+22+12)×［(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2］≥［1×（y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)］2=1.即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥61.当且仅当1622311yxyxy,即x=25,y=65时上式取等号.故所求值为x=25,y=65.10.设x1,x2,…,xn都是正数，且niix1=1.求证：niiniiixnxx11111.证明：不等式的左端，即niiniiniiixxxx1111111，①niiniiyny1211,取yi=ix1则niiniixnx121)1(11.②由柯西不等式，有)1(])1([)1(11212111nnxxniininii③及nxnii1.④综合①②③④,得3niiniiniiixxxx1111111≥niiniixxn1121)1(≥niixnnnnnnnn12111)1()1(.4