命题角度4.4：立体几何中的折叠问题1.在正方形中，的中点为点，的中点为点，沿将向上折起得到，使得面面，此时点位于点处．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求面与面所成二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用折叠前后的不变量得到有关垂直关系，进而利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；（Ⅱ）同（Ⅰ）证明有关线面垂直和线线垂直，进而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．（Ⅱ）设中点为，连接，交于点，连接.同（Ⅰ）可证，从而面面，所以；由面，可得面面，又因为面面，且面与面相交于，所以面．设为原点，过点作轴平行于，作轴平行于，为轴，如图所示，不妨设正方形边长为3，从而，，，，，，又因为，所以，，在直角中，由勾股定理可得，所以，即，所以可以求得面的法向量为，面的法向量为，所以可以得出法向量，则所求二面角的正弦值为．2.如图甲，已知矩形中，为上一点，且，垂足为，现将矩形沿对角线折起，得到如图乙所示的三棱锥.（Ⅰ）在图乙中，若，求的长度；（Ⅱ）当二面角等于时，求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）余弦值为.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，由线面垂直的判定定理，可得平面，所以,由勾股定理求出BH的长度；（Ⅱ）以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面的方向为轴建系，可得平面ADC的法向量为，由当二面角等于，求出点B,C，H三点的坐标，假设平面的法向量，由,求出，根据两向量的夹角公式，求出二面角的余弦值.（Ⅱ）如图，以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面的方向为轴建系，可得平面的法向量为，即有，再由二面角等于，可得点坐标为，所以，设平面的法向量，则，所以，由横坐标大于横坐标，所以二面角为钝角，所以余弦值为.3.如图1，已知在菱形中，，为的中点，现将四边形沿折起至，如图2.（1）求证：面；（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用直线与平面垂直的判断定理结合题意证得线面垂直即可；(2)首先建立空间直角坐标系，然后平面的法向量即可球的最终结果.试题解析：证明：(1) 四边形ABCD为菱形,且，为正三角形， 为的中点(注：三个条件中,每少一个扣1分)（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.，为二面角A-DE-H的一个平面角，设则由得设平面的法向量为，则令得而平面的一个法向量为设平面与平面所成锐二面角的大小为则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为4.如图１，在正方形中，点分别是的中点，与交于点为中点，点在线段上，且.现将分别沿折起，使点重合于点（该点记为），如图2所示.（1）若，求证：平面；（2）是否存在正实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)详见解析；（2）.试题解析：（1）由题意，可知三条直线两两垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴平面．．．．．．．．．．．．．．．3分在图1中， 分别是的中点，∴，∴．又 在的中点，∴．在图2中， ，且，∴在中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由题意，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则．∴．．．．．．．．．7分 ，∴，∴.∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又 ，设平面的一个法向量为．由．取，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 直线与平面所成角的正弦值为，∴．．．．．．．．．11分∴，解得或（不合题意，舍去）故存在正实数，使得直线与平面所成有的正弦值为5.如图，已知是矩形，，分别为边，的中点，与交于点，沿将矩形折起，设，，二面角的大小为.（1）当时，求的值；（2）点时，点是线段上一点，直线与平面所成角为.若，求线段的长.【答案】（1）（2）试题解析：如图，设为的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）当时，，，，，.（2）由得，，，，设，则，，设平面的法向量为，，，，取，由...
