专题1.4基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.【知识梳理】1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).【微点提醒】1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.≤≤≤(a>0，b>0).3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sinx＋的最小值为4.()(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×【解析】(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f(x)＝sinx＋没有最小值.(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.【教材衍化】12.(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为()A.9B.18C.36D.81【答案】A【解析】因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】D【解析】因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为()A.B.C.－1D.0【答案】D【解析】f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.又1∈，所以f(x)在上的最小值为0.5.(2018·济宁一中月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.【答案】15【解析】设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.【答案】【解析】由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.【考点聚焦】考点一利用基本不等式求最值角度1利用配凑法求最值【例1－1】(1)(2019·乐山一中月考)设00，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.角度2利用常数代换法求最值【例1－2】(2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则＋的最小值为________.【答案】4【解析】 曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1，∴A(1，1).将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，可得m＋n＝1，∴＋＝·(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝时，取得等号.角度3基本不等式积(ab)与和(a＋b)的转化【例1－3】(经典母题)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.【答案】[9，＋∞)【解析】 a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，解得≥3，即ab≥9.【迁移探究】本例已知条件不变，求a＋b的最小值.【答案】见解析【解析】 a>0，b>0，∴ab≤，即a＋b＋3≤，整理得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍).故a＋b的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时...
