3.5三角恒等变换[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届南宁质量检测)已知＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于()A.B．C.D．解析：由3sin2α＝2cosα，得sinα＝.因为＜α＜π，所以cos(α－π)＝－cosα＝＝.答案：C2．已知sinα＋cosα＝，则sin2＝()A.B．C.D．解析：由sinα＋cosα＝两边平方得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.答案：B3．(2017届东北四市联考)已知sin＝cos，则cos2α＝()A．1B．－1C.D．0解析：∵sin＝cos，∴cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝－cosα，∴tanα＝＝－1，∴α＝kπ－，k∈Z，∴cos2α＝cos＝0.答案：D4．已知sin2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于()A．－2B．－1C．－D．解析：由题意可得cos2α＝－，则tan2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.答案：A5．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosBcosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B．C.D．解析：由题意知，sinA＝－cosBcosC＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，在等式－cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cosBcosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.答案：A6．已知sin＝，cos2α＝，则sinα＝()A.B．－C.D．－解析：由sin＝得sinα－cosα＝.①由cos2α＝得cos2α－sin2α＝，即(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝.②由①②可得cosα＋sinα＝－.③由①③可得sinα＝.答案：C7．若tanα＝3，则sin的值为()A．－B．C.D．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－，∴sin＝sin2α＋cos2α＝×＋－＝－.答案：A8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝.①因为cos(α－β)＝，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝.②①＋②得cosαcosβ＝.②－①得sinαsinβ＝.所以tanαtanβ＝＝.答案：9．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________.解析：由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，∴tanα<0，tanβ<0，∴α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.答案：－10．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.∴tan(α＋β)＝＝＝1.∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，∴α＋β＝.11．(2017届广东六校联考)已知函数f(x)＝sin，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f的值．解：(1)f＝sin＝sin＝－.(2)f＝sin＝sin＝(sin2θ－cos2θ)．因为cosθ＝，θ∈，所以sinθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝，所以f＝(sin2θ－cos2θ)＝×＝.12．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由f＝2cos＝2cos＝－2sinα＝－，得sinα＝，又α∈，所以cosα＝.由f＝2cos＝2cosβ＝，得cosβ＝，又β∈，所以sinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.[能力提升]1．cos·cos·cos＝()A．－B．－C.D．解析：cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.答案：A2．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)＝()A．－B．C．－D．解析：因为α∈，所以2α∈(0，π)，因为cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－，所以sin2α＝＝.又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.故选D.答案：D3．(2017届合肥质检)已知coscos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．解：(1)coscos＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.(2)∵α∈，∴2α∈，又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．
