第3节等比数列及其前n项和1．(2019·石家庄市模拟)在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则a6＝()A．28B．32C．64D．14解析：B[设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝2，a5＝16，∴a1q＝2，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2.则a6＝25＝32.]2．(2019·沈阳市一模)已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a＝－64，则tan＝()A.B．－C．－D．±解析：B[数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a＝－64＝a，则a3＝－4，a7＝±8根据等比数列的性质可得a7＝8舍去，∴a7＝－8，∴a4a6＝a3·a7＝32，∴tan＝tan＝tan＝－tan＝－.]3．(2019·淮北市一模)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为()A．3B．5C．9D．25解析：D[根据题意，等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则有a6＝＝15，则q＝＝5，则＝＝q2＝25.]4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)解析：C[∵a2＝2，a5＝，∴a1＝4，q＝.∴anan＋1＝aq2n－1＝242n－1＝8n－1，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．]5．(2019·大庆市一模)数列{an}为正项递增等比数列，满足a2＋a4＝10，a＝16，则loga1＋loga2＋…＋loga10等于()A．－45B．45C．－90D．90解析：D[因为{an}为正项递增等比数列，所以an＞an－1＞0，公比q＞1.因为a2＋a4＝10①，且a＝16＝a3·a3＝a2·a4②由①②解得a2＝2，a4＝8.又因为a4＝a2·q2，得q＝2或q＝－2(舍)．则得a5＝16，a6＝32，因为loga1＋loga2＋…＋loga10＝5loga5a6＝5log16×32＝5×9log2＝45×2log＝90.]6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝m·2n－1－3，则m＝________.解析：a1＝S1＝m－3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝m·2n－2，∴a2＝m，a3＝2m，又a＝a1a3，∴m2＝(m－3)·2m，整理得m2－6m＝0，则m＝6或m＝0(舍去)．答案：67．(2019·漳州市一模)等比数列{an}中，a1＝1，an＞0，其前n项和为Sn，若a2是－a3，a4的等差中项，则S6的值为______．解析：假设公比为q，则可列方程2q＝－q2＋q3，解得q＝0或2或－1，其中满足条件的公比只有2.则S6＝＝63.答案：638．已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＝2·3n－1.答案：2·3n－19．(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解：(1)∵a5＝4a3，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，an＝2n－1当q＝－2时，an＝(－2)n－1∴{an}的通项公式为an＝2n－1或an＝(－2)n－1.(2)当q＝2时，Sm＝＝63，解得m＝6.当q＝－2时，Sm＝＝63.无解．∴m＝6.10．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴＝3(n≥2)，∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．
