考点集训(五十五)第55讲抛物线1．若抛物线y2＝px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为A．8B．2C．－4D．42．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝±4xD．y2＝±8x3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为A．4B．6C．10D．164．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为A．5B.C.－2D．45．若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x＋2y－4＝0上，则p＝______；C的准线方程为________．6．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝______；准线方程为________．7．AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点到直线x＋＝0的距离为____________．8．已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF＝3FM.(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；(2)求△ABP面积的最大值．9．已知动圆过定点A(2，0)，且与直线x＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)是否存在过点(0，1)的直线l，与轨迹C交于P，Q两点，使得AP⊥QP，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．答案题号12345第55讲抛物线【考点集训】1．A2.D3.D4.B5.8x＝－46.2x＝－17.8．【解析】(1)由题意知焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1＝3，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)．由PF＝3FM得M或M.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．由得x2－4kx－4m＝0.于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB的中点M的坐标为(2k，2k2＋m)．由PF＝3FM，得(－x0，1－y0)＝3(2k，2k2＋m－1)，所以由x＝4y0，得k2＝－m＋.由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤.又因为|AB|＝4·，点F(0，1)到直线AB的距离为d＝，所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|＝.记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1，令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝，m2＝1.可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．又f＝＞f，所以，当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.所以，△ABP面积的最大值为.9．【解析】(1)由题意可知，圆心到定点A(2，0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义可知，轨迹C为以A(2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.(2)假设存在直线l符合题意．由题意易知，直线l的斜率k存在且不为零，又因过点(0，1)，故设直线l的方程为y＝kx＋1，联立直线与抛物线方程消元整理得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，设交点坐标为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则Δ＝(2k－8)2－4k2>0，∴k<2且k≠0.①且此时AP·AQ＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(k2＋1)x1x2＋(k－2)·(x1＋x2)＋5＝(k2＋1)·＋(k－2)·＋5＝＝0，解得k＝－±符合①，∴存在符合题意的直线l，其方程为y＝x＋1或y＝x＋1.
