【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2014·高考福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14解析：由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.答案：C2．(2016·石家庄质检)已知等差数列满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，Sn＝100，则n的值为()A．8B．9C．10D．11解析：由Sn－Sn－3＝51得，an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，又a2＝3，Sn＝＝100，解得n＝10.答案：C3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d<0B．d>0C．a1d<0D．a1d>0解析：把2a1an看成一个整体bn，利用递减数列的关系式bn>bn＋1求解．设bn＝2a1an，即bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则bn>bn＋1，即2a1an>2a1an＋1. y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.答案：C4．(2016·保定调研)已知等差数列的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝__________.解析：设数列的公差为d，则由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13①，S7＝＝35②.联立①②，解方程组得a1＝2，d＝1，∴a7＝a1＋6d＝8.答案：85．(2016·日照模拟)等差数列{an}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为________．解析：法一：由Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可得2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，即S2m＝＝＝60.法二：由Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)×，所以是以a1为首项，为公差的等差数列，从而，，成等差数列，所以＋＝2×，所以S2m＝＋Sm＝30＋30＝60.答案：606．(2014·高考北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．解析： a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0. a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.答案：87．设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．解：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证明：法一：对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．法二：对任意k∈N＋，2Sk＝，Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝(q2＋q－2)＝0，因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．8．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：(1)由题意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}为公差为d的等差数列得，d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*)．(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，所以当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n；当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝[B级能力突破]1．(2016·济南一模)在等差数列{an}中，a1＝－2016，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2016的值等于()A．－2014B．－2015C．－2013D．－2016解析： －＝2，∴－＝2，故a12－a10＝4，∴2d＝4，d＝2.∴S2016＝2016a1＋＝－2016.答案：D2．(2016·山西四校联考)已知等差数列的前n项和为Sn，若S8>0且S9<0，则当Sn最大时n的值是()A．8B．4C．5D．3解析：＝>0，＝<0，所以a4>0，a5<0，即数列的前4项都是正数，所以选B.答案：B3．(2016·佳木斯模拟)若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1<0的k值为()A．22B．21C．24D．23解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，...
