单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.设复数=a+bi(a,b∈R),则a+b=()A.1B.2C.-1D.-22.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则有()A.=2B.C.=3D.23.(2017湖北武汉二月调考)若非零向量a,b满足a⊥(2a+b),且a与b的夹角为,则=()A.B.C.D.24.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a215.(2017安徽合肥一模)设i为虚数单位,复数z=的虚部是()A.B.-C.1D.-16.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为()A.-B.-C.D.8.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的投影为()A.B.C.-D.-9.(2017湖北武昌1月调研)在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则=()A.-B.0C.D.710.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cosα,sinα),则向量与向量的夹角的取值范围是()2A.B.C.D.11.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则的取值范围是()A.[-1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,2]12.已知||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则|-t|(t∈R)的最小值为()A.B.C.2D.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为.14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为.15.若向量a,b满足:a=(-,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|=.16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上一个动点,则的取值范围是.参考答案单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入1.A解析∵=-i=a+bi,3∴a=-,b=.∴a+b=1,故选A.2.B解析由2=0,得=-2=2,即=2=2,所以,故选B.3.B解析∵a⊥(2a+b),且a与b的夹角为,∴a·(2a+b)=2a2+a·b=2|a|2-|a||b|=0.又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=|b|,∴,故选B.4.D解析如图,设=a,=b.则=()·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.5.B解析∵z=i,∴复数z=的虚部是-.6.C解析设点P坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.∴点P坐标为(3,0).7.A解析b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),c=(3,4),4又(b+λa)⊥c,∴(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=-,故选A.8.A解析=(2,1),=(5,5),向量上的投影为,故选A.9.B解析如图,∵BC=3MC,DC=4NC,AB=4,AD=3,∴=()·()=|2-|2=×9-×16=0.10.D解析由题意,得=(2+cosα,2+sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当点A为直线OA与圆的切点时,向量与向量的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.11.C解析满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示.令z==-x+y,即y=x+z.当直线y=x+z经过点P(0,2)时,在y轴上的截距最大,从而z最大,即zmax=2.5当直线y=x+z经过点S(1,1)时,在y轴上的截距最小,从而z最小,即zmin=0.故的取值范围为[0,2],故选C.12.B解析依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且||的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(-t)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4+3的最小值是3,因此|-t|的最小值是.13.-5解析由a⊥(ta+b)可得a·(ta+b)=0,所以ta2+a·b=0,而a2=12+(-1)2=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t×2+10=0,解得t=-5.14.解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E.设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,则=2x+y,令z=2x+y,当z=2x+y过点(2,1)时,取最大值.15.解析∵a=(-,1),∴|a|=2.∵(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,∴(a+2b)·a=0,(a+b)·b=0,即|a|2+2a·b=0,①|b|2+a·b=0.②由①-②×2得|a|2=2|b|2,则|b|=.16.6[0,+1]解析如图,画出函数y=的图象.这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设的夹角为θ,则θ∈[0°,90°].当θ∈[0°,45°]时,cos(45°-θ)=,当θ∈[45°,90°]时,cos(θ-45°)=.由于y=cosx,x∈R是偶函数,所以||=2cos(θ-45°),θ∈[0°,90°].=||||cosθ=2cos(θ-45°)cosθ=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=sin(2θ+45°)+1.因为θ∈[0°,90°],所以2θ+45°∈[45°,225°].当2θ+45°=90°,即θ=22.5°时,取最大值+1,当2θ+45°=225°,即θ=90°时,取最小值0,所以的取值范围是[0,+1].7
