证一条线段等于两条线段之和襄阳市第十八中学吴双贵一、复习引入：1、证明两个三角形全等的方法有哪些？2、证明两条线段相等的方法有哪些？SSS、SAS、ASA、AAS在一个三角形中，等角对等边，在两个三角形中，就证明这两个三角形全等。3、如图在△ABC中，如果∠B=C∠，则AB___AC4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D做DE∥BC交AB于点E，则BE___DE==例1：已知，如图，在△ABC中，∠B和∠C的角平分线相交于点O，过O点作MNBC∥交AB于点M，交AC于点N.求证：MN=BM+CN二、典型例题讲授：证明：∵∠B和∠C的角平分线相交于点O∴∠ABO=CBO∠∵MNBC∥∴∠MOB=CBO∠∴∠ABO=MOB∠∴在△BMO中，BM=OM同理可证CN=ON∵MN=OM+ON∴MN=BM+CN分析：要证明MN=BM+CN，由图形可看出MN=OM+ON，如能证明OM=BM，ON=CN即可，结合题目的已知条件，很容易证得∠ABO=BOM∠，∠ACO=CON∠，从而使得OM=BM，ON=CN得证.归纳小结：就是从图形直观可以看出要证明的一条长线段就是由两条较短线段组成，因此可以通过转化为证明组成这条长线段的两条分线段分别等于要证明的结论中的两条线段就可以了.变式1：如图，BO为ΔABC的角平分线，CO为ΔABC的外角的平分线，它们相交于点O，过O点作MNBC∥交AB于点M，交AC于点N.求证：MN=BM-CN.变式2：如图，ΔABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点O，过O点作MNBC∥交AB于点M，交AC于点N.求证：MN=BM+CN.延伸：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是AB上的一点，BDCE⊥，AFCE⊥，垂足分别为D、F.求证：DF+AF=BD.分析：在这个题目中，看不出三条线段之间的关系，但从题目的已知条件可以得到ΔAFC与ΔADB全等，于是想到BD=CF，而CF=CD+DF，再证明CD=AF即可.这也告诉学生当不能一眼就看出BD是由哪两条线段组成时，要将结论中的线段进行转换，做题时一定要从题目的已知条件入手，不要一味的按照题目要求什么就想什么，出现思维僵化的怪现象.小结归纳：从刚才做的题目来看，可以从图形直观看出要证明的一条长线段就是由两条较短线段组成，因此可以通过转化为证明组成这条长线段的两条短线段分别等于要证明的结论中的两条线段就可以了，这就是第一种证明一条线段等于两条线段之和的方法——利用等量线段代换法。例2：如图所示，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD是∠ACB的角平分线.求证：BC=AC+AD.分析：题目中有很重要的已知条件“CD是∠ACB的角平分线”，于是可以想到将∠ACD沿着CD折叠，这样就把AC折叠到BC上，从而将BC分成两条线段AC′和BA′，再证明BA′=AD即可，实质上就是在线段BC上截取CA′=CA，这就是截长法的具体表现（如图1）；也可以将∠BCD沿着CD折叠，把BC折叠到AC上，从图形中发现B′C比AC长AB′，再证明AB′=AD即可，但证明AB′=AD不是太容易，所以我们想到延长CA到B′，使AB′=AD，再证明CB′=CB，这就是补短法的具体表现（如图2）.变式：如图3，已知△ABC中，∠A=90°，AC=AB，CD平分∠ACB，BECD⊥，垂足E在CD的延长线上.求证:BE=CD.归纳小结：这类题目有一个共同的特点——角平分线，添辅助线的思路就是巧用角是轴对称图形，角平分线将一个角分成了两部分，我们将其中的一部分沿着角平分线翻折到另一旁，从而得到辅助线的添法——在长线段上截取一部分等于两条较短线段中的一条，再证明剩余的部分等于另一条线段即可，这就是截长法；也可以将较短的一条线段延长，使延长的部分等于另一条较短线段，然后再证这两条线段组成的长线段等于要证明的结论中的长线段，这就是补短法.这是本节课要研究的另一种证明一条线段等于两条线段之和的方法——截长补短法。练习：1.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2C.∠求证：AB+BD=AC.变式：将条件“∠B=2C”∠与结论“AB+BD=AC”互换，其他的不变，还成立吗？2.如图，已知四边形ABCD中，ADBC∥，且∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，BE平分∠ABC.求证：AD+BC=AB.通过这节课的学习，同学们有什么收获？还有什么需要加强的？布置作业：请将本节课的题目在作业本上完成.
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