2013年高三数学一轮复习选修4-1第1课时知能演练轻松闯关新人教版一、填空题1.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，则AD的长为________．解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AB·AD.设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC＝6，∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0.解得x＝4或x＝－9(舍去)，∴AD＝4.答案：42．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若＝，则EF的长为________．解析：如图所示，延长BA、CD交于点P， AD∥BC，∴＝＝，∴＝，又 ＝，∴＝，∴＝，∴＝. AD∥EF，∴＝＝，又AD＝2，∴EF＝.答案：3.(2011·高考陕西卷)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.解析： AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8.又 AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴＝，∴BE＝＝＝4.答案：44．在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE＝________.解析：由勾股定理得：BC＝＝5，由射影定理得：CD＝＝，由三角形面积相等得：AD＝＝，又由三角形面积相等得：DE＝＝.答案：5.(2010·高考广东卷)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.1解析：连接DE(图略)，由于E是AB的中点，故BE＝，又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝.答案：6.如图，已知在梯形ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC和BD相交于点P.(1)若AP的长为4，则PC＝________；(2)△ABP和△CDP高的比为________．解析：(1) AB∥CD，∴△APB∽△CPD，∴＝，即＝，解得PC＝12.(2)由(1)及△ABP和△CDP的高的比等于它们的相似比，得这两个三角形的高的比为1∶3.答案：(1)12(2)1∶3二、解答题7.如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．解： AE∥BC，D为AC的中点，∴AE＝CF，＝＝，设AE＝x，又BC＝8，∴＝，3x＝x＋8，∴x＝4.∴AE＝4.8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE·AB＝AF·AC.证明： AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形，又 DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.9.如图所示，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m．已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE， BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.2 ∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.(2)由(1)，得△ABC∽△ADE.∴＝. AC＝2m，AE＝2＋18＝20(m)，BC＝1.6m.＝，∴DE＝16m.即古塔的高度为16m.10.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，求证：△AED∽△CBD.证明： 三角形ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC，∴＝＝， ＝，∴＝.∴＝.又 ∠A＝∠C＝60°，∴△AED∽△CBD.11.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP的延长线交AC、CF于E、F两点，求证：PB2＝PE·PF.证明：如图，连接PC.易证PC＝PB，∠ABP＝∠ACP. CF∥AB，∴∠F＝∠ABP.从而∠F＝∠ACP.又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角，从而△CPE∽△FPC，∴＝.∴PC2＝PE·PF.又PC＝PB，∴PB2＝PE·PF，命题得证．12.如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，求证：＝.证明：由三角形的内角平分线定理得，在△ABD中，＝.①在△ABC中，＝，②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即＝.③由①③得：＝，④由②④得：＝.13.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，底边BC上的高AD＝10cm，腰AC上的高BE＝12cm.(1)求证：＝；(2)求△ABC的周长．解：(1)证明：在△ADC和△BEC中，3 ∠ADC＝∠BEC＝90°，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC，∴＝＝＝. AD是等腰三角形ABC底边BC的高线，∴BC＝2BD，又AB＝AC，∴＝＝，∴＝.(2)设BD＝x，则AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝9...
