探究教学的一些思考----从勾股定理的探索谈开去210013江苏教育学院数学系章飞勾股定理，作为平面几何有关度量的最基本定理，是世界各国初中阶段数学学习的经典内容，而且其探究方法多样，因而成为国际数学教育比较、数学课堂教学研究的热点课题。为此，本文选择该课题，以其教学设计为切入点，谈谈笔者对于命题探究教学的一些思考。1勾股定理探究的教学设计1.1以问题为驱动，揭示学习的必要性数学源于问题，学习也是如此。正如张奠宙先生所言，“没有问题的数学教学，不会有火热的思考”。因而，问题是思维的起点，任何有效的数学教学必须以问题为起点，以问题为驱动，激发学生学习的欲望，同时也揭示知识学习的必要性，并在问题解决中学习新知。勾股定理作为平面几何有关度量的最为基本定理，源于实际问题解决的需要。因而，作为勾股定理学习的第一课时，也应选择某个现实的或数学的问题情境，揭示勾股定理学习的必要性。例如，可以根据学生认知状况选择下面某个问题情境：情境a：一次强台风中，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？情境b：某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能顺利通过该隧道吗？情境c：如图（图略），圆柱高30厘米，底面直径10厘米，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从下底面的A处爬到上底面的B处，它怎么爬最近，最近距离是多少？情境d：等腰三角形ABC中，底边BC的长为6，腰AB的长为10，你能求该三角形的面积吗?上面4个情境，侧重点各有不同。如，情境a比较现实、简单，学生易于理解，可以较快地切入教学主题，适宜认知水平一般的班级选用；而情境b则更具现实性和挑战性，学生认知水平较高的班级，可以选用该情境；情景c，具有一定的趣味性，可以激发学生的学习兴趣，但其更具挑战性，教学中可以选择该情境作为本章初始问题，但不必要求学生在本堂课求解，可以在本章学习的最后，让学生再回顾并最终解决该问题；情景d，则来自数学内部，关注了数学自身研究的需要，同时也关注了知识间的内在联系，便于整体认知。不管选择哪个情境，都离不开主题：希望通过师生的研讨，引导学生思考“直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定。三条边之间确实存在一个特定的数量关系”，从而引出学生对于直角三角形中三边长度关系的探索，并点明课题：勾股定理。1.2大胆尝试猜想，问题解决的出发点转化（化归）与尝试猜测是学生研究新问题的两个最为基本的策略。如果这个新的问题和原来所学习过的某个知识存在某种显性的联系，学生一般设法将该问题转化或化归为原有问题（如将二元一次方程组转化为一元一次方程），从而获得其解；如果这个新的问题属于一个全新的知识领域，没有与其具有显性联系的先前知识准备，化归的思路将难以实现，这时，大胆尝试、猜测是学生的一个自然的选择。显然，直角三角形三边长度之间的关系（勾股定理）的探索，属于后者。为此，可以设计活动：活动1：在作业纸上任意画出若干个直角三角形，测量它们各边的长度，猜测并检验三边长度之间的关系。当然，探索直角三角形三边长度之间关系时，学生一般多先思考三边长度之间的一次关系，而较难想到三边长度之间的二次关系。为此，对于学力水平一般的班级，可以直接告诉学生，“前人发现直角三角形三边长度的平方之间存在某种关系”，直接进入平方关系的探索，从而避免学生花费过多的时间于此；对于学力水平较高的班级，可以在学生发现未必存在一次关系的基础上，提请学生思考它们之间是否存在二次关系。此外，具体教学中，为了便于学生的发现，也可以要求学生绘制直角边长为整数的直角三角形，还可以设计一个表格，让学生填表。有条件的学校，在学生探索三边长度之间关系时，还可以在计算机上绘制更多的直角三角形，验证或排除学生所探索的关系，甚至让学生在几何画板环境中自主地探究、猜想、排除错误猜想、验证正确猜想等。1.3操作验证猜想，确认结果的合理性基于测量结果的猜想，是难能让学生自己信服的（毕竟测量可能存在一定的误差），通过各种活动让学生从理性上确信这个猜想是必不可少的。为此，可以让学生通过...
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