傅里叶变换与拉普拉斯变换区别演讲稿傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。信号分析与处理中常见的有cfs（连续时间傅里叶级数）、cft（连续时间傅里叶变换）、dtft（离散时间傅里叶变换）、dfs（离散傅里叶级数）、dft（离散傅里叶变换）。通过对连续非周期信号xc（t）在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。1、cfs（连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f（x）可展开为由此类比，已知连续周期信号x（t），周期为t0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式ejz=cosz+jsinz得故有1令则对于dn，有n≤0时同理。故cfs图示如下：2figure1第1页共9页理论上，cfs对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x（t）展开都有很高的精度。2、cft（连续时间傅里叶变换）连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号期t0→∞。当然，从时域上将x（t）进行cfs展开，有的周也可以反过来看成x（t）的周期延拓。若令则有3t0→∞使得Ω0→0，则由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下cft：cft-1：x（t）是信号的时域表现形式，x（jΩ）是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。cft即将x（t）分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数。上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）。cfs中的dn与cft中的x（jΩ）之间有如下关系即从频域上分析，dn是对x（jΩ）的采样（可将figure1与figure2进行对比）。cft图示如下：4figure23、dtft（离散时间傅里叶变换）首先，先从连续信号得到离散信号。用冲激信号序列对连续非周期信号xc（t）进行采样，采样间隔为ts，有此时的xs（t）还不是真正的离散信号，它只是在满足t=nts的时间点上有值，在其它时间点上值为零。对xs（t）进行进一步处理有第2页共9页规定则5其中，x[n]是最终所得的离散信号。xs（t）自变量为t，其单位为秒s，间隔为ts；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。从频域分析上有其中。令，定义以上式为dtft定义式。dtft逆变换为dtft是在时域上对cft的采样（图示可见figure3与figure4），在dtft中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示x（ejω）为连续的，且有周期ωs=2π。x（ejω）与xs（jΩ）之间的关系为6ω=Ωtsxs（jΩ）中，自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s），周期为Ωs=2π/ts；x（ejω）中，自变量ω单位为弧度（rad），周期为ωs=2π。cft时域采样图示如下：figure3dtft图示如下：figure44、dfs（离散时间傅里叶级数）在离散时间信号x[n]基础上，用冲激序列对dtft中的x（ejω）进行采样，采样间隔为Δω=2π/n，则有而s（ω）的逆dtft变换为7对xs（ejω）进行逆dtft变换，有xs[n]相当于对x[n]进行了周期延拓，周期为n=2π/Δω。由上式可得第3页共9页若延拓周期n大于x[n]的时长，则延拓不会发生混叠，于是k为任意整数令周期信号，k为任意整数，则8有取ω=2πk/n，令则有是以k为自变量的函数，有以下性质m为任意整数即的周期为n。为了避免重复计算，我们只考虑一个周期n内的情况，即同时，9为时域表示，为频域表示。故定义dfs为其逆变换为的自变量n单位为1，周期为n；的自变量k单位为1，周期也为n。dfs应用于离散时间周期性信号中，其相当于在频域中10对dtft采样，而对应地在时域中相当于对dtft进行周期延拓（图示见figure5与figure6）。dfs与dtft的关系为dtft频域采样图示如下：figure5dfs图示如下：figure65、dft（离散傅里叶变换）在dfs基础上，取离散时间周期性信号0，1，2，…n-1这一个周期内的n个...
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