第2讲立体几何中的向量方法一、选择题1．已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件OM＝OA＋OB＋OC，则直线AM()．A．与平面ABC平行B．是平面ABC的斜线C．是平面ABC的垂线D．在平面ABC内解析由已知得M，A，B，C四点共面，所以AM在平面ABC内，选D.答案D2.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()．A．垂直B．平行C．相交D．不能确定解析分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． A1M＝AN＝a，∴M，N，∴MN＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴C1D1＝(0，a,0)，∴MN·C1D1＝0，∴MN⊥C1D1.又 C1D1是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.答案B3．(·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()．A.B.C.D.解析建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)，故cos〈BM，AN〉＝＝＝.答案C4．(·四川卷)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是()．A.B.C.D.解析以D为原点，以DA、DC、DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有A(2,0,0)，O(1,1,0)，P(0,2，m)(0≤m≤2)，C1(0,2,2)．易知面A1DB的一个法向量为AC1＝(－2,2,2)，OP＝(－1,1，m)，∴sinα＝＝，令2＋m＝t，∴m＝t－2(2≤t≤4)，∴sinα＝＝，由二次函数的值域求解方法可知，y＝的值域为y∈，∴sinα∈.故选B.答案B5．(·北京东城区模拟)如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则AP·AB的值为()．A．0B．1C．0或1D．任意实数解析AP可为下列7个向量：AB，AC，AD，AA1，AB1，AC1，AD1.其中一个与AB重合，AP·AB＝|AB|2＝1；AD，AD1，AA1与AB垂直，这时AP·AB＝0；AC，AB1与AB的夹角为45°，这时AP·AB＝×1×cos＝1，最后AC1·AB＝×1×cos∠BAC1＝×＝1，故选C.答案C二、填空题6．在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为________．解析如图为折叠后的图形，其中作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，则AC＝6，BD＝8，CD＝4，两异面直线AC，BD所成的角为60°，故由AB＝AC＋CD＋DB，得|AB|2＝|AC＋CD＋DB|2＝68，∴|AB|＝2.答案27．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a，点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为______．解析建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则P(0,0，a)，B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)，又DE＝，PB·DE＝0＋－＝0，所以PB⊥DE，由已知DF⊥PB，且DF∩DE＝D，所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°.答案90°8．(·孝感模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变．其中真命题的序号是________．解析①中， BC1∥平面AD1C，∴BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确；②中，P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确；③中，P在直线BC1上运动时，点P在平面AD1C1B中，即二面角P－AD1－C的大小不受影响，所以正确．答案①③三、解答题9．(·烟台一模)在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，E是线段AD的中点．如图所示，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD.(1)求证：C′D⊥平面ABD；(2)求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．(1)证明平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，可知C′D＝CD＝6，BC′＝BC＝10，BD＝8，即BC′2＝C′D2＋BD2∴C′D⊥BD.又 平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，C′D⊂平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD.(2)解由(1)知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，如图，以D为原点，建立...
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