【创新设计】（人教通用）高考数学二轮复习专题整合3-1数列的通项与求和问题理（含最新原创题，含解析）一、选择题1．在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10等于()．A．9B．10C．11D．12解析设等差数列{an}的公差为d，则有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝.又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11.答案C2．(·嘉兴教学测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝()．A．4B．6C．8D．8－4解析在等比数列{an}中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.答案C3．已知数列1，3，5，7…，，则其前n项和Sn为()．A．n2＋1－B．n2＋2－C．n2＋1－D．n2＋2－解析因为an＝2n－1＋，则Sn＝＋＝n2＋1－.答案A4．(·烟台一模)在等差数列{an}中，a1＝－2012，其前n项和为Sn，若－＝2002，则S2014的值等于()．A．2011B．－2012C．2014D．－2013解析等差数列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即数列是首项为a1＝－2012，公差为的等差数列；因为－＝2002，所以，(2012－10)＝2002，＝1，所以，S2014＝2014[(－2012)＋(2014－1)×1]＝2014，选C.答案C5．(·合肥质量检测)数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2014＝()．A.B．－C．6D．－6解析由an＝，得an＋1＝.∵a1＝2，∴a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3.故数列{an}具有周期性，周期为4，∵a1a2a3a4＝1，∴T2014＝T2＝a1a2＝2×(－3)＝－6.答案D二、填空题6．(·衡水中学调研)已知数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(n≥2)，则该数列的通项公式an＝________.解析∵an－1－an＝(n≥2)，∴＝，∴－＝－，∴…－＝－，－＝－，，－＝－，∴－＝1－，又∵a1＝，∴＝3－，∴an＝.答案7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于________．解析由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝2，am＋1＝3，所以d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.答案58．(·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2…＋＋lna20＝________.解析∵a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10·a11＝e5，lna1＋lna2…＋＋lna20＝10ln(a10·a11)＝10·lne5＝50.答案50三、解答题9．(·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2…，)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2…，)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2…，)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.10．(·江西卷)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.解(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32…＋＋(2n－1)·3n－1，3Sn＝1·31＋3·32…＋＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32…＋＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.11．(·烟台一模)已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列的前n项和．解(1)∵，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，两式相减得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，所以数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，即an＝×2n－1＝2n－2.(2)∵bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)＝(log222n＋1－2)×(log222n＋3－2)＝(2n－1)(2n＋1)，∴＝×＝，∴数列的前n项和Tn…＝＋＋＋＋＝＝＝.
