第4讲利用导数求参数的取值范围一、选择题1．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是()．A．[－1,1]B．[－1∞，＋)C．[1∞，＋)D．(∞－，1]解析f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x＞0恒成立，∴m≥－2＋.令g(x)＝－2＋，则当＝1，即x＝1时，函数g(x)取最大值1.故m≥1.答案C2．(·广州调研)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()．A．[0,1)B．(－1,1)C.D．(0,1)解析f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．当a＞0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．当x∈(∞－，－)和(∞，＋)时，f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f(x)单调递减．所以当＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0,1)内有最小值．答案D3．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0∞，＋)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是()．A.B．C．(∞－，2]D．(∞－，2)解析f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.∴f(x)在(0,4)上递减，在(4∞，＋)上递增，∴当x∈[0∞，＋)时，f(x)min＝f(4)．∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.答案A4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是()．A．(∞，＋)B．(∞－，－)C．(－，)D．(∞－，－)∪(∞，＋)解析f′(x)＝x2＋2ax＋3.由题意知方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－12＞0，解得：a＞或a＜－.答案D二、填空题5．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是________．解析依题意知，x＞0，f′(x)＝.令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0∞，＋)，≤当－0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立；当－＞0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m＜0.综上，m的取值范围是m≥－2.答案[－2∞，＋)6．若函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝＝－.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<10，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.答案三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋2alnx.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，为求实数a的值；(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝2x＋＝.由已知f′(2)＝1，解得a＝－3.(2)由g(x)＝＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－＋2x＋.由函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－＋2x≤＋0在[1,2]上恒成立，即a≤－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝－x2，在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－.所以a≤－.10．(·北京西城区一模)已知函数f(x)＝lnx－，其中a∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)如果对于任意x∈(1∞，＋)，都有f(x)＞－x＋2，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝lnx－，得f′(x)＝＋，所以f′(1)＝3.又因为f(1)＝－2，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－5＝0.(2)由f(x)＞－x＋2，得lnx－＞－x＋2，即a＜xlnx＋x2－2x.设函数g(x)＝xlnx＋x2－2x，则g′(x)＝lnx＋2x－1.因为x∈(1∞，＋)，所以lnx＞0,2x－1＞0，所以当x∈(1∞，＋)时，g′(x)＝lnx＋2x－1＞0，故函数g(x)在x∈(1∞，＋)上单调递增，所以当x...
