数学活动新课导入导入课题老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.(1)通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律.(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.(4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.活动目标活动重点活动难点(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.推进新课图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…….观察图形，完成下面各题.····························……图1活动1三角形点阵①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整前n行数12345…10…n点数和1361015……55(1)2nn②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n.由①知.前n行的点数和为，解得n1=24，n2=-25(舍去)，即行数n为24.(1)3002nn③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由.前n行的点数和,解得n1=,n2=,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600.(1)6002nn148012148012④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？前n行的点数和为(1)(1)2nnnn⑤在④中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.依题意,n(n+1)=600.解得n1=24，n2=-25(舍去).活动2正六边形点阵如图2是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，……，依此类推.图2·····························································①填写下表：层数1234…该层对应的点数所有层的总点数161218…171937…②写出第n层所对应的点数（n≥2）③写出n层正六边形点阵的总点数（n≥2）；6(n-1)1+6×1+6×2+…+6(n-1)=1+6·=1+3n(n-1)11(1)2nn④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？1+3n(n-1)=331化简方程为：n2-n-110=0分解因式为：(n-11)(n+10)=0解得：n1=11，n2=-10(舍去)，所以：它共有11层.⑤点阵设计大赛：设计时间：5分钟.设计要求：a.每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.b.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.随堂演练1.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.（1）下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；····················①1=1；②1+2=；③1+2+3=；④1+2+3+4=.3610（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式：。（3）2015是“三角形数”吗？为什么？1+2+3+…+9=45解：不是.“三角形数”都可以写成的形式，令2015=，解得n1=，n2=.因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形”数.(1)2nn(1)2nn11612121161212（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式.·······················································①1=12；②1+3=22；③3+6=32；④6+10=42；⑤.10+15=52（5）通过猜想，写出（4）中与第n个点阵相对应的等式：.2(1)(1)22nnnnn（6）判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？解：是.15 2=225.∴225是...
