【创新设计】届数学一轮探究课2文新人教A版(建议用时：80分钟)1．已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax(a∈R)．若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围．解法一函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f(x)＝lnx＋x2＋ax，∴f′(x)＝＋2x＋a. 函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥0，即＋2x＋a≥0对x∈(0，＋∞)都成立．∴－a≤＋2x对x∈(0，＋∞)都成立．∴当x＞0时，＋2x≥2＝2，当且仅当＝2x，即x＝时取等号．∴－a≤2，即a≥－2.∴a的取值范围为[－2，＋∞)．法二函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f(x)＝lnx＋x2＋ax，∴f′(x)＝＋2x＋a＝.方程2x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ≤0，即－2≤a≤2时，2x2＋ax＋1≥0，此时，f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)都成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数．②当Δ＞0，即a＜－2或a＞2时，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，只需2x2＋ax＋1≥0对x∈(0，＋∞)都成立．设h(x)＝2x2＋ax＋1，则解得a＞0.故a＞2.综合①②得a的取值范围为[－2，＋∞)．2．(·南山中学月考)已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3.(1)解令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.①若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立．②若0
0，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)>h(0)＝0，不合题意．③当a≤0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意．综上可知，a≥1.(2)证明当a取(1)中的最小值为1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.设H(x)＝x－sinx－x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－x2.令G(x)＝1－cosx－x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，所以G(x)＝1－cosx－x2在[0，＋∞)上单调递减，此时G(x)＝1－cosx－x2≤G(0)＝0，即H′(x)＝1－cosx－x2≤0，所以H(x)＝x－sinx－x3在x∈[0，＋∞)上单调递减．所以H(x)＝x－sinx－x3≤H(0)＝0，则x－sinx≤x3(x≥0)．所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)－f(x)≤x3.3．(·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．解(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝a(a＞0)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0＜a＜.所以a的取值范围是.4．(·重庆模拟)已知函数f(x)＝(x2－ax＋a)ex－x2，a∈R.(1)若函数f(x)在(0，＋∞)内单调递增，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝0处取得极小值，求a的取值范围．解(1)f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax＋a)ex－2x＝x[(x＋2－a)ex－2]， f(x)在(0，＋∞)内单调递增，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)内恒成立，即(x＋2－a)ex－2≥0在(0，＋∞)内恒成立，即x＋2－≥a在(0，＋∞)内恒成立，又函数g(x)＝x＋2－在(0，＋∞)上单调递增，∴a≤0.(2)令f′(x)＞0，即x[(x＋2－a)ex－2]＞0，∴或∴或(*) g(x)＝x＋2－单调递增，设方程g(x)＝x＋2－＝a的根为x0.①若x0＞0，则不等式组(*)的解集为(－∞，0)和(x0，＋∞)，此时f(x)在(－∞，0)和(x0，＋∞)上单调递增，在(0，x0)上单调递减，与f(x)在x＝0处取极小值矛盾；②若x0＝0，则不等式组(*)的解集为(－∞，0)和(0，＋∞)，此时f(x)在R上单调递增，与f(x)在x＝0处取极小值矛盾；③若x0＜0，则不等式组(*)的解集为(－∞，x0)和(0，＋∞)，此时f(x)在(－∞，x0)和(0，＋∞)上单调递增，在(x0,0)上单调递减，满足f(x)在x＝0处取极小值，由g(x)单调性，得a＝x0＋2－＜g(0)＝0，综上所述，a＜0.5．(·长沙模拟)已知函数f(x)＝lnx－.(1)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；(2)若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立...
