【创新设计】届数学一轮热点训练探究课2理北师大版(建议用时：80分钟)1．(·南昌模拟)已知f(x)＝xlnx(x＞0)．(1)求f(x)的最小值．(2)F(x)＝ax2＋f′(x)．(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解(1)由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1(x＞0)，令f′(x)＝0，得x＝.∴当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0，∴当x＝时，f(x)min＝ln＝－.(2)由题意及(1)知，F(x)＝ax2＋lnx＋1(x＞0)，所以F′(x)＝2ax＋＝(x＞0)．①当a≥0时，恒有F′(x)＞0，则F(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当a＜0时，令F′(x)＞0，即2ax2＋1＞0，解得0＜x＜；令F′(x)＜0，即2ax2＋1＜0，解得x＞.综上，当a≥0时，F(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a＜0时，F(x)在上单调递增，在上单调递减．2．已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)＞g(x)＋；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．(1)解当a＝1时，f(x)＝x－lnx，x∈(0，e]，f′(x)＝1－＝，x∈(0，e]，∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)的单调递减；当1＜x≤e时，f′(x)＞0时，此时f(x)的单调递增．∴f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明 f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，∴[f(x)]min＝1.又g′(x)＝，∴当0＜x＜e时，g′(x)＞0，g(x)在(0，e]上单调递增．∴[g(x)]max＝g(e)＝＜，∴[f(x)]min－[g(x)]max＞，∴在(1)的条件下，f(x)＞g(x)＋.(3)解假设存在正实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，则f′(x)＝a－＝，x∈(0，e]．①当0＜＜e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，[f(x)]min＝f＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件；②当≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，[f(x)]min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此时f(x)无最小值．综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.3．(·南京调研)已知函数f(x)＝ex－m－x，其中m为常数．(1)若对任意x∈R有f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；(2)当m>1时，判断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．解(1)依题意，可知f′(x)＝ex－m－1，令f′(x)＝0，得x＝m.故当x∈(－∞，m)时，ex－m<1，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(m，＋∞)时，ex－m>1，f′(x)>0，f(x)单调递增．故当x＝m时，f(m)为极小值也是最小值．令f(m)＝1－m≥0，得m≤1，即对任意x∈R，f(x)≥0恒成立时，m的取值范围是(－∞，1]．(2)当m>1时，f(m)＝1－m<0. f(0)＝e－m>0，f(0)·f(m)<0，且f(x)在(0，m)上单调递减．∴f(x)在(0，m)上有一个零点．又f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－2m，则g′(m)＝em－2， 当m>1时，g′(m)＝em－2>0，∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增．∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．故f(x)在[0,2m]上有两个零点．4．(·北京卷)已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈.(1)求证：f(x)≤0；(2)若a＜＜b对x∈恒成立，求a的最大值与b的最小值．(1)证明由f(x)＝xcosx－sinx，得f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.因为在区间上f′(x)＝－xsinx＜0，所以f(x)在区间上单调递减．从而f(x)≤f(0)＝0.(2)解当x＞0时，“＞a”等价于“sinx－ax＞0”；“＜b”等价于“sinx－bx＜0”．令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c.当c≤0时，g(x)＞0对任意x∈恒成立．当c≥1时，因为对任意x∈，g′(x)＝cosx－c＜0，所以g(x)在区间上单调递减．从而g(x)＜g(0)＝0对任意x∈恒成立．当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈使得g′(x0)＝cosx0－c＝0.于是，当x变化时，g(x)，g′(x)在区间的变化情况如下：x(0，x0)x0g′(x)＋0－g(x)极大值因为g(x)在区间[0，x0]上是增函数，所以g(x0)＞g(0)＝0.进一步，“g(x)＞0对任意x∈恒成立”当且仅当g＝1－c≥0，即0＜c≤.综上所述，当且仅当c≤时，g(x)＞0对任意x∈恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)＜0对任意x∈恒成立．所以，若a＜＜b对任意x∈恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.5．已知函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)当m＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)若y＝f(x)在上存在单调递增区间，...
