阶段回扣练3导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1．(·哈师大附中检测)设函数f(x)＝axlnx(a∈R，a≠0)，若f′(e)＝2，则f(e)的值为()A．1B．C．eD．2e解析f′(x)＝alnx＋a，故f′(e)＝2a＝2，得a＝1，故f(x)＝xlnx，f(e)＝e.答案C2．(·大连模拟)曲线y＝x2＋lnx在点(1,1)处的切线方程为()A．3x－y－2＝0B．x－3y＋2＝0C．3x＋y－4＝0D．x＋3y－4＝0解析y′＝2x＋，故y′|x＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简整理得3x－y－2＝0.答案A3．三次函数f(x)＝mx3－x在(∞∞－，＋)上是减函数，则m的取值范围是()A．(∞－，0)B．(∞－，1)C．(∞－，0]D．(∞－，1]解析f′(x)＝3mx2－1，依题意可得m＜0.答案A4．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()A．－1B．0C．－D．解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x＝或－(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g′(x)－0＋g(x)0极小值0所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.答案C5．(·济宁一模)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析由导数的图象可得原函数f(x)图象在(∞－，0)“”上减，在(0∞，＋)“”“”上先增后减，与之相符的只有D．答案D6．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)解析 f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．答案C7．(·湛江模拟)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1解析 y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则y′，y的变化情况如下表；x(∞－，－1)－1(－1,1)1(1∞，＋)y′＋0－0＋yc＋2c－2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.答案A8．(·石家庄模拟)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0∞，＋)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(∞－，0)B．(∞－，4]C．(0∞，＋)D．[4∞，＋)解析2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(1∞，＋)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(∞－，4]．答案B9．(·青岛一模)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于()A．B．C．D．解析由题图可知f(1)＝0，f(2)＝0，∴解得∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2.由图可知x1，x2为f(x)的极值点，∴x1＋x2＝2，x1x2＝.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.答案C10．(·湖北卷)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(∞－，0)B．C．(0,1)D．(0∞，＋)解析由题知，x>0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝，结合图象知0
