阶段回扣练3导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.解析由题意y′＝－，设切点P(x0，y0)，x0＞0，则－＝，解得x0＝3或x0＝－2(舍)，故选A.答案A2．(·大连模拟)曲线y＝x2＋lnx在点(1，1)处的切线方程为()A．3x－y－2＝0B．x－3y＋2＝0C．3x＋y－4＝0D．x＋3y－4＝0解析y′＝2x＋，故y′|x＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简整理得3x－y－2＝0.答案A3．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝()A．1B．2C．3D．4解析f′(x)＝′＝＝， x＝1为函数的极值点，∴f′(1)＝0，即1＋2×1－a＝0，解得a＝3，故选C.答案C4．函数f(x)＝－，a＜b＜1，则()A．f(a)＝f(b)B．f(a)＜f(b)C．f(a)＞f(b)D．f(a)，f(b)大小关系不能确定解析f(x)＝－，所以f′(x)＝－＝，当x＜1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)＝－在(∞－，1)上是减函数，又a＜b＜1，故f(a)＞f(b)．答案C5．函数f(x)＝mx3－x在(∞－，∞＋)上是减函数，则m的取值范围是()A．(∞－，0)B．(∞－，1)C．(∞－，0]D．(∞－，1]解析由题意知，f′(x)＝3mx2－1≤0在(∞－，∞＋)上恒成立，x①＝0时，－1≤0恒成立，即m∈R；x≠0②时，有m≤在R上恒成立， ＞0，∴m≤0，综上m≤0，故选C.答案C6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是()解析如图所示，当x∈(∞－，x0)时，函数f(x)为增函数，当x∈(x0，0)和x∈(0，∞＋)时，函数f(x)为减函数，∴x＝x0是函数f(x)的极大值点，可得f′(x0)＝0，且当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，当x∈(x0，0)和x∈(0，∞＋)时，f′(x)＜0.由此对照各个选项，可得函数y＝f′(x)的图象只有A项符合．答案A7．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为()A．0.5mB．0.7mC．1mD．1.5m解析设容器底面的宽为xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6.设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，其中0＜x＜1.6，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令y′＝0，得x＝1.从而在定义域(0，1.6)内只有当x＝1时y取得最大值，即容器底面的宽为1m时，容器的容积最大．答案C8．(·青岛一模)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于()A.B.C.D.解析由题图可知f(1)＝0，f(2)＝0，∴解得f∴(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2.由图可知x1，x2为f(x)的极值点，x1∴＋x2＝2，x1x2＝.x∴＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.答案C9．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)＞1，则不等式ex·f(x)＞ex＋1的解集为()A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜－1或x＞1}D．{x|x＜－1或0＜x＜1}解析构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex.因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex＞ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)＞g(0)，解得x＞0.答案A10．(·河北模拟)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，∞＋)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(∞－，0)B．(∞－，4]C．(0，∞＋)D．[4，∞＋)解析2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，∞＋)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(∞－，4]．答案B二、填空题11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝________．解析f′(x)＝2f′(e)＋，取x＝e，得f′(e)＝2f′(e)＋，由此解得f′(e)＝－＝－e－1.答案－e－112．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围是________．2≤k∴＋1≤4≤，∴k≤2.答案13．设f(x)＝lnx－a，若f(x)＜x2在x∈(1，∞＋)上恒成立，则实数a的范围为________．解析 函数f(x)＝lnx－a，且f(x)＜x2在(1，∞＋)上恒成立，∴函数f(x)＝lnx－a＜x2在(1，∞＋)上恒成立，∴a＞lnx－x2.令h(x)＝lnx－x2，有h′(x)＝－2x. x＞1，∴－2x＜0...
