第8讲函数与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·青岛统一检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内只有一个零点，故选B.答案B2．(·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝的图象交点的横坐标所在区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析函数y＝ln(x＋1)与y＝的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点， f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln3－＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1,2)．答案B3．(·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析依题意，注意到f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.答案A4．(·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是()A.B．(－∞，－1)∪C.D．(－∞，－1)解析当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞.答案B5．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2＜x1＜x3B．x1＜x2＜x3C．x1＜x3＜x2D．x3＜x2＜x1解析依据零点的意义，转化为函数y＝x分别和y＝－2x，y＝－lnx，y＝＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3.答案B二、填空题6．(·淄博期末)函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________．解析函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.答案27．函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.答案28．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析画出f(x)＝的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．答案(0,1)三、解答题9．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．解法一(换元法)设t＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得－1
0)，则a＝－＝－＝2－，其中t＋1>1，由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.综上，a的取值范围是(－∞，2－2]．10．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围．解由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⇒即－
