第3讲数学归纳法及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知f(n)…＝＋＋＋＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋答案D2．…用数学归纳法证明不等式＋＋＋>(n>2)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边()A．增加了一项：B．增加了两项：，C．增加了两项：，，又减少了一项：D．增加了一项：，又减少了一项：解析当n＝k时，…左边＝＋＋＋，n＝k＋1时，…左边＝＋＋＋＋＋.故选C.答案C3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2，故应选B.答案B4．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时该命题成立，那么()A．n＝4时该命题成立B．n＝4时该命题不成立C．n≥5，n∈N*时该命题都成立D．可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错．答案C5．“用数学归纳法证明n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9”整除，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.答案A二、填空题6．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．解析当n＝2时，＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝.当n＝3时，＋＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝.故猜想an＝.答案an＝7．“用数学归纳法证明：1…＋＋＋＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析当n＝k时，要证的式子为1…＋＋＋＋2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．解析因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．答案f(2n)>(n≥2，n∈N*)三、解答题9．(·陕西卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式．解由题设得，g(x)＝(x≥0)．由已知得，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝…，，可得gn(x)＝.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．②假设n＝k(k≥2且k∈N*)时结论成立，即gk(x)＝.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N*成立．10．已知f(n)＝1…＋＋＋＋＋，g(n)＝－，n∈N*.(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)2n＋1，n的第一个取值应是()A．1B．2C．3D．4解析 n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n>2n＋1成立．n∴的第一个取值应是3.答案C12．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)“满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2”成立．那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥...
