第2讲直接证明与间接证明基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.<解析在B中， a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，a2∴＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案B2．已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A．a>bB．a＋＞0(m＞1)，<∴，即a40 ，∴＋>2＋.答案＋>2＋7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．解析要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．答案①③④8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.“其中能推出：a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填上序号)．答案①三、解答题9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明 a，b，c∈(0，∞＋)，≥∴＞0≥，＞0≥，＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．··∴＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lg＞lgabc，lg∴＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)解当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析 a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时“，”＝成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D12．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析 ≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，∴f≤f()≤f.答案A13．已知a，b，μ∈(0，∞＋)，且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．解析 a，b∈(0，∞＋)，且＋＝1，a∴＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16(当且仅当a＝4，b＝12时等号成立)，a∴＋b的最小值为16.∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.答案(0，16]14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°①＋cos217°－sin13°cos17°；sin②215°＋co...
