第1讲合情推理与演绎推理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案D2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11…，，则a10＋b10等于()A．28B．76C．123D．199解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案C3．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7……个区域；；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3…＋＋n)＝1＋＝个区域，选C.答案C4．(·北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，“”“”“”依次为优秀合格不合格．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，“则称学生甲”比学生乙成绩好．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人解析用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格，而语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的也最多只有1个，语文成绩得C的也最多只有1个，因此学生最多只有3个，显然(A，C)，(B，B)，(C，A)，满足条件．故学生最多3个．答案B5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mn①＝nm”“类比得到a·b＝b·a”；“②(m＋n)t＝mt＋nt”“类比得到(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；“③(m·n)t＝m(n·t)”“类比得到(a·b)·c＝a·(b·c)”；“t≠0④，mt＝xt⇒m＝x”“类比得到p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；“|m·n|⑤＝|m|·|n|”“类比得到|a·b|＝|a|·|b|”；“⑥＝”“类比得到＝”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析①②正确；③④⑤⑥错误．答案B二、填空题6．(·东北三省三校联考)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102……，，根据上述规律，第n个等式为________．解析观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23…＋＋n3＝＝.答案13＋23…＋＋n3＝7．(·南昌模拟)观察下列等式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53＝21＋23＋25＋27＋29……，，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．解析依题意，注意到从23到m3(m≥2，m∈N)的分拆中共含有2＋3…＋＋m＝个正整数，且最大的正整数为2×＋1＝(m－1)(m＋2)＋1，且109＝(10－1)×(10＋2)＋1，因此所求的正整数m＝10.答案108．命题p：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．解析对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q.由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2＝PQ，从而OM∥F1Q且OM＝F1Q.而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以OM＝a.对于双曲线，过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM＝a.答案内角平分线三、解答题9．给出下面的数表序列：表1表2表3113135448…12其中表n(n＝1，2，3…，)有n行，第1行的n个数是1，3，5…，，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解表4为13574812122032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平...
