第6讲离散型随机变量的均值与方差基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)＝()A.B．2C.D．3解析E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案A2．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1解析由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.答案B3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400解析记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1000，0.1)，E∴(Y)＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案B4．口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是()A．4B．4.5C．4.75D．5解析由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5，故选B.答案B5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为()A.B.C.D.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，∴D(X)＝4×＝.答案B二、填空题6．(·浙江卷)随机变量X的取值为0，1，2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________．解析由题意设P(X＝1)＝p，由概率分布的性质得P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝－p，由E(X)＝1，可得p＝，所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝.答案7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．解析由题意知P(X＝0)＝＝(1－p)2×，p∴＝，随机变量X的可能值为0，1，2，3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝××2＋×＝，P(X＝3)＝×＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案8．某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．解析设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，x－a，且P(X＝x)＝1－p，P(X＝x－a)＝p，所以E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝，得x＝.答案三、解答题9．(·湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P(E)＝，P(F)＝，P(F)＝，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立．(1)记H“”＝至少有一种新产品研发成功，则H＝EF，于是P(H)＝P(E)P(F)＝×＝，故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－＝.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(EF)＝×＝，P(X＝100)＝P(EF)＝×＝，P(X＝120)＝P(EF)＝×＝，P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.故所求的分布列为X0100120220P数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生...
