第3讲二项式定理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．把(1－x)9的展开式按x的升幂排列，系数最大的项是第________项()A．4B．5C．6D．7解析(1－x)9展开式中第r＋1项的系数为C(－1)r，易知当r＝4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.答案B2．(·辽宁卷)使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7解析Tr＋1＝C(3x)n－r＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．答案B3．(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为()A．10B．－10C．2D．－2解析(1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C(2x)0·C(－x)1＋C(2x)1·C14(－x)0，其系数为C·C(－1)＋C·2＝－4＋6＝2.答案C4．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a6x6，且a1＋a2…＋＋a6＝63，则实数m的值为()A．1或3B．－3C．1D．1或－3解析令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1，令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2…＋＋a6，又a1＋a2＋a3…＋＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.答案D5．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2…＋＋a10(1－x)10，则a8＝()A．－180B．180C．45D．－45解析因为(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2…＋＋a10(1－x)10，所以[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2…＋＋a10(1－x)10，所以a8＝C22(－1)8＝180.答案B二、填空题6．(·新课标全国Ⅱ卷)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字作答)．解析Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，得r＝3，∴Ca3＝15，即a3＝15，∴a3＝，∴a＝.答案7．(·皖南八校三联)的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9，展开式的第四项为T4＝C·()6·＝.答案8．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a12x12，则a2＋a4…＋＋a12＝________．解析令x＝1，则a0＋a1＋a2…＋＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2…－＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4…＋＋a12＝.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4…＋＋a12＝－1＝364.答案364三、解答题9．已知二项式(＋)n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解(1)由题意得C＋C＋C…＋＋C＝256，2n∴＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.10．在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；解(1)二项式系数的和为C＋C…＋＋C＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C＋C…＋＋C＝29，偶数项的二项式系数和为C＋C…＋＋C＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2…＋＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3…＋＋a10＝510，②①＋②得2(a0＋a2…＋＋a10)＝1＋510，∴奇数项系数和为；①－②得2(a1＋a3…＋＋a9)＝1－510，∴偶数项系数和为.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45B．60C．120D．210解析在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)＝C＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120，故选C.答案C12．(·新课标全国Ⅰ卷)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8解析由题意得：a＝C，b＝C，所以13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.答案B13．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________．解析原等式两边求导得5(2x－3)4·(2x－3)′＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令上式中x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.答案1014．求证：1＋2＋22…＋＋25n－1(n∈N*)能被31整除．证明∵1＋2＋22…＋＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C×31n＋C×31n－1…＋＋C×31＋C－1＝31(C×31n－1＋C×31n－2…＋＋C)，显然C×31n－1＋C×31n－2…＋＋C为整数，∴原式能被31整除.
