第4讲平面向量的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.答案D2．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．答案C3．(·深圳调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则AB·AC＝()A．2B．2C．－2D．－2解析由余弦定理得cosA＝＝＝－，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝2×2×＝－2，故选D.答案D4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()A．－B．－C.D.解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，cosθ∴＝－，又 0≤θ≤π，∴θ＝.答案D5．(·杭州质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO＝AB＋AC，则∠BAC的度数等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2AD.由题意得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，BAC∴∠＝60°，故选C.答案C二、填空题6．(·广州综合测试)在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．解析由题意知AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，∴|AB|＝2.答案27．(·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的最大值为________．解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1，1)，M，设E(x，0)，x∈[0，1]，则EC·EM＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋，x∈[0，1]单调递减，当x＝0时，EC·EM取得最大值.答案8．(·太原模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．解析由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0，4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.答案4三、解答题9．(·江西五校联考)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解m·n＝sincos＋cos2＝sin＋×cos＋＝sin＋.(1) m·n＝1，∴sin＝，cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2) (2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，2sinAcosB∴＝sinCcosB＋sinBcosC，2sinAcosB∴＝sin(B＋C)．A ＋B＋C＝π，sin∴(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，cosB∴＝，B＝.0∴＜A＜.∴＜＋＜，＜sin＜1.又 f(x)＝m·n＝sin＋，f∴(A)＝sin＋，故1＜f(A)＜.故函数f(A)的取值范围是.10．(·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA＋PB＋PC＝0，求|OP|；(2)设OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解(1)法一 PA＋PB＋PC＝0，又PA＋PB＋PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴解得即OP＝(2，2)，故|OP|＝2.法二 PA＋PB＋PC＝0，则(OA－OP)＋(OB－OP)＋(OC－OP)＝0，∴OP＝(OA＋OB＋OC)＝(2，2)，|∴OP|＝2.(2) OP＝mAB＋nAC，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴两式相减得，m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(·衡水中学一调)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A.B.C.D.解析设a与b的夹角为θ.f (x)＝x3＋|a|x2＋a·bx.f′∴(x)＝x2＋|a|x＋a·b. 函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，又 |a|＝2|b|≠0，cosθ∴＝＜＝，即cosθ＜，又 θ∈[0，π]，∴...
