第1讲平面向量的概念及线性运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一段圆弧C．两个孤立点D．一个圆解析由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．答案D2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．答案B3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知C满足题意．答案C4．(·福州质量检测)在△ABC中，AD＝2DC，BA＝a，BD＝b，BC＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－aB．c＝2a－bC．c＝－D．c＝－解析依题意得BD－BA＝2(BC－BD)，BC＝BD－BA＝b－a，故选D.答案D5．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.B.C.D．1解析∵M为BC上任意一点，∴可设AM＝xAB＋yAC(x＋y＝1)．N∵为AM的中点，∴AN＝AM＝xAB＋yAC＝λAB＋μAC，λ∴＋μ＝(x＋y)＝.答案A二、填空题6．向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．解析由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．答案④7．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．解析由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－＝－a＋b.答案－a＋b8．设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD，即∴p＝－1.答案－1三、解答题9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．10.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AG.解AG＝AB＋BG＝AB＋λBE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)a＋b.又AG＝AC＋CG＝AC＋mCF＝AC＋(CA＋CB)＝(1－m)AC＋AB＝a＋(1－m)b，∴解得λ＝m＝，∴AG＝a＋b.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.答案B12．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA＋λ，λ∈[0，∞＋)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析作∠BAC的平分线AD.∵OP＝OA＋λ，∴AP＝λ＝λ′·(λ′∈[0，∞＋))，∴AP＝·AD，∴AP∥AD.P∴的轨迹一定通过△ABC的内心．答案B13．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，|∴AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形14．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－a＋b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需AC＝λAB，即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a与b为不共线的非零向量，∴有⇒∴当t＝时，三向量终点在同一直线上.
