第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝，则B＝()A.B.C.D.解析因为cosA＝，所以sinA＝＝，由正弦定理，得＝，所以sinB＝，又因为b＜a，所以B＜，B＝，故选A.答案A2．(·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．2解析因为S＝×AB×ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案B3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为()A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1解析由正弦定理＝及已知条件，得c＝2，又sinA＝sin(B＋C)＝×＋×＝.从而SABC△＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.答案B4．(·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，“则a＝2bcosC”是“△ABC”是等腰三角形的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析依题意，由a＝2bcosC及正弦定理，得sinA＝2sinBcosC，sin(B＋C)－2sinBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC－2sinBcosC＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcosC．因此“，a＝2bcosC”是“△ABC”是等腰三角形的充分不必要条件，故选A.答案A5．(·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在RtACD△中，CD＝＝＝60(m)，在RtABD△中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，BC∴＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．答案C二、填空题6．(·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝，∴B＝或.答案或7．(·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________．解析由已知及余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，则＝2.答案28．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB＝________．解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.由cosC＝得sinC＝.由正弦定理＝，得sinB＝＝×＝(或者因为c＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sinB＝sinC＝)．答案三、解答题9．(·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.(1)求cosCAD∠的值；(2)若cosBAD∠＝－，sinCBA∠＝，求BC的长．解(1)在△ADC中，由余弦定理，得cosCAD∠＝.故由题设知，cosCAD∠＝＝.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cosCAD∠＝，cosBAD∠＝－，所以sinCAD∠＝＝＝，sinBAD∠＝＝＝.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sinBADcosCAD∠∠－cosBADsinCAD∠∠＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理，＝.故BC＝＝＝3.10．(·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sin的值．解(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－.由于0
