第4讲定积分与微积分基本定理基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1．(·济南质检)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B．1C.D.解析由题意知S＝＝－＝.答案D2．若dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6解析dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1，a2∴＋lna－1＝3＋ln2，则a＝2.答案A3．(·江西卷)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S10，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．答案7.如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析由得x1＝0，x2＝2.S∴＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx答案8．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________m.＝×4＋4－＝10－＝(m)．答案6.5三、解答题9．已知f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，试求f(x)dx的值．解∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，f′∴(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3.f∴(x)dx＝＝－18.10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．解作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得交点(1，1)，解方程组得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx＝2xdx＋(3x－x2)dx＝x2＝1＋－＝.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(·湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：f①(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3③中f(x)·g(x)＝x3为奇函数，在[－1，1]上的积分为0，故①③满足条件．答案C12．(·江西卷)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C.D．1解析由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝＝＋2m＝m，∴m＝－.答案B13.(＋x)dx＝________．解析(＋x)dx＝dx＋xdx，根据积分的几何意义可知dx等于半径为1的半圆的面积，即dx＝，xdx＝x2|＝0，∴(＋x)dx＝.答案14．在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．解S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t面积，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
