高考数学 探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习二 理VIP专享VIP免费

探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习（二）题一：从自然数1到中，最多可以选出个数，使得被选出的数中任意两个数的和都不能被3整除．题二：对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[1.08]=2，定义函数f(x)=x[x]，则下列命题中正确的是_______（填题号）①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③函数有无数个零点；④函数f（x）是增函数．题三：无穷等差数列{an}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；①存在满足条件的数列{an}，使得对任意的n∈N*，S2n=4Sn成立．②对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{an}中的一项；③对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{an}中的一项；其中正确命题为_______．（写出所有正确命题的序号）题四：已知数列na中,，31a前n项和1)1)(1(21nnanS．（1）求证：数列na是等差数列；（2）求数列na的通项公式；（3）设数列的前n项和为nT，是否存在实数M，使得MTn对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值；若不存在，试说明理由．探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习参考答案题一：671．详解：这个数可以分成三类：①被3整除的数，3，6，9，．，，共有669个；②被3除余数是1的数，1，4，7，．，，共有670个；③被3除余数是2的数，2，5，8，．，，共有669个．从第2组（被3除余数是1的数，共有670个）中可取670个，再从第一组（被3整除的数）中取出一个，则最多可以选出670+1=671个数，使得被选出的数中任意两个数的和都不能被3整除．故答案为：671．题二：②③．详解：∵函数f（x）=x[x]，∴函数f（x）的最大值小于1，故①不正确；函数f（x）的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；函数f（x）有增有减，故④不正确．故答案为：②③．题三：①②．详解：根据条件等差数列的其中三项：3、15、21，可以得到一个信息，d≤6；①如果有S2n=4Sn，那么由等差数列求和公式有：，化简得到，d=2a1，所以只要满足条件d=2a1的数列{an}，就能使得对任意的n∈N*，S2n=4Sn成立，②9921=78能被6整除，且，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{an}中的一项，正确；③3021=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{an}中的一项，错误．综上所述，①②正确，故答案为：①②．题四：（1）见详解；（2）；（3）M的最小值为61.详解：①∵1)1)(1(21nnanS1111112121111(2)(1)1(2)(1)(1)(1)22(1)1(1)(2)1(1)(2)(1)nnnnnnnnnnnnnnnSnaaSSnananananananananana整理得，12122(1)(1)()2nnnnnnnanaaaaa∴数列na为等差数列.②1)1(311nnannaa，21212152aaaa即公差为21(1)3(1)221naandnn③)32)(12(111nnaann11122123nn11111111111()()23557212323236nnTnNTnnn又当时，要使得MTn对一切正整数n恒成立,只要M≥61，所以存在实数M使得MTn对一切正整数n都成立,M的最小值为61.