第1讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·沈阳模拟)曲线y＝x3在原点处的切线()A．不存在B．有1条，其方程为y＝0C．有1条，其方程为x＝0D．有2条，它们的方程分别为y＝0，x＝0解析 y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.答案B2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.答案A3．(·湛江调研)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.B.C.D．1解析y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1，0)，，故围成的三角形的面积为×1×＝.答案A4．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2015(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析 f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2015(x)＝f3(x)＝－sinx－cosx，故选A.答案A5．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝x3－x2－xB．y＝x3＋x2－3xC．y＝x3－xD．y＝x3＋x2－2x解析设三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0，0)处的切线，则y′|x＝0＝－1⇒c＝－1，排除B，D.又 y＝3x－6是该函数在点(2，0)处的切线，则y′|x＝2＝3⇒12a＋4b＋c＝3⇒12a＋4b－1＝3⇒3a＋b＝1.只有A项的函数符合，故选A.答案A二、填空题6．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．解析 f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′sin＋cos，f′∴＝－1，∴f＝(－1)cos＋sin＝1.答案17．(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．解析y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.答案－38．(·开封调研)若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析 f(x)＝x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋.f (x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，a∴＝x＋≥2(x＞0)．答案[2，∞＋)三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝xnlgx；(2)y＝sin2；(3)y＝log3(2x＋1)．解(1)y′＝nxn－1lgx＋xn·＝xn－1.(2) y＝sin2＝，y∴′＝－′＝－··′＝2sin.(3)y′＝·(2x＋1)′＝.10．已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．解(1) P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋. 点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，x∴(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为()A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝0解析y′＝＝，因为ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≤－当(x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－...
