常考问题8等差数列、等比数列(建议用时：50分钟)1．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.解析a1＋a2＋a3＝15⇒3a2＝15⇒a2＝5，a1a2a3＝80⇒(a2－d)a2(a2＋d)＝80，将a2＝5代入，得d＝3(舍去d＝－3)，从而a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3×(5＋30)＝105.答案1052．(·泰州期中)已知等比数列{an}为递增数列，且a3＋a7＝3，a2a8＝2，则＝________.解析根据等比数列的性质建立方程组求解．因为数列{an}是递增等比数列，所以a2a8＝a3a7＝2，又a3＋a7＝3，且a3＜a7，解得a3＝1，a7＝2，所以q4＝2，故＝q2＝.答案3．(·南京二模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.解析设等差数列{an}的公差为d，则＝＝⇒a1＝2d，所以＝＝.答案4．数列{an}为正项等比数列，若a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N*，n≥2)，则此数列的前4项和S4＝________.解析设{an}的公比为q(q＞0)，当n＝2时，a2＋a3＝6a1，从而1＋q＝，∴q＝2或q＝－3(舍去)，a1＝，代入可有S4＝＝.答案5．(·南京学情调研)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.解析求出等比数列的通项公式，再求和．由等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，得公比为－2，所以an＝×(－2)n－1，|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(1＋2＋22＋…＋25)＝×＝.答案6．(·新课标全国Ⅰ卷改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于________．解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.答案57．在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为前______项的和．解析因为S19＝19a10＜0，而由a11＞|a10|得a11＋a10＞0，所以S20＝10(a11＋a10)＞0，故Sn中最大的负数为前19项的和．答案198．(·江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，若函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′(x)，则f′＝________.解析因为各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，所以a4＝2，q＝2，故an＝2n－3，又f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9，所以f′＝2－2＋2×2－2＋3×2－2＋…＋10×2－2＝2－2×＝.答案9．已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．(1)求通项公式an；(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由题意知解得所以an＝3n－5(n∈N*)．(2)∵bn＝2an＝23n－5＝·8n－1，∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，所以Sn＝＝.10．(·杭州模拟)已知数列{an}是首项为，公比为的等比数列，设bn＋15log3an＝t，常数t∈N*.(1)求证：{bn}为等差数列；(2)设数列{cn}满足cn＝anbn，是否存在正整数k，使ck，ck＋1，ck＋2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由．(1)证明an＝3－，bn＋1－bn＝－15log3＝5，∴{bn}是首项为b1＝t＋5，公差为5的等差数列．(2)解cn＝(5n＋t)·3－，则ck＝(5k＋t)·3－，令5k＋t＝x(x>0)，则ck＝x·3－，ck＋1＝(x＋5)·3－，ck＋2＝(x＋10)·3－.①若c＝ck＋1ck＋2，则2＝(x＋5)·3－·(x＋10)·3－.化简得2x2－15x－50＝0，解得x＝10；进而求得k＝1，t＝5；②若c＝ckck＋2，同理可得(x＋5)2＝x(x＋10)，显然无解；③若c＝ckck＋1，同理可得(x＋10)2＝x(x＋5)，方程无整数根．综上所述，存在k＝1，t＝5适合题意．11．(·南通调研)已知数列{an}成等比数列，且an＞0.(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．解设公比为q，则由题意，得q＞0.(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得解之，得或所以数列{an}的通项公式为an＝8(2－)(3＋)n－1，或an＝8(2＋)(3－)n－1.②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．由Δ＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2.经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2.(2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1.a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝8≥32，当且仅当qk－1＝，即q＝，a1＝8(－1)时，a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32.
