倒数第7天函数与导数[保温特训]1．函数y＝的定义域是________．解析要使函数有意义，则≥0，解得x＞－2，故所求定义域是(－2，＋∞)．答案(－2，＋∞)2．函数y＝f(x)是偶函数，则在点(－a，f(a))、(－a，－f(－a))、(－a，－f(a))、(a，－f(－a))中，一定在函数y＝f(x)图象上的点是________．解析当x＝－a时，y＝f(－a)＝f(a)，即点(－a，f(a))一定在函数y＝f(x)图象上．答案(－a，f(a))3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边有f′(x)＞0，右边有f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．答案(－1,0)4．已知函数f(x)＝，则f＝________.解析f＝f＝f(－1)＝e－1＝.答案5．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析本小题主要考查导数的概念及几何意义．由题意易知f(1)＝，f′(1)＝.答案36．函数f(x)＝的值域是________．解析0＜x＜1时，值域为(－∞，0)；x≥1时，值域为(－∞，2]，故原函数的值域是(－∞，0)∪(－∞，2]＝(－∞，2]．答案(－∞，2]7．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．解析函数定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝＜0，解得0＜x＜1，所以递减区间是(0,1)．答案(0,1)8．设a＞0，a≠1，函数f(x)＝ax2＋x＋1有最大值，则不等式loga(x－1)＞0的解集为________．解析因为x2＋x＋1有最小值，函数f(x)＝ax2＋x＋1有最大值，所以0＜a＜1，所以loga(x－1)＞0＝loga1⇔0＜x－1＜1，解得1＜x＜2.答案(1,2)9．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．解析由f′(x)>2转化为f′(x)－2>0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数，又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)>2x＋4，即F(x)>4＝F(－1)，所以x>－1.答案(－1，＋∞)10．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，函数取得极值10，得解得或当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意舍去．而a＝4，b＝－11满足f′(x)在x＝1两侧异号，故a＋b＝－7.答案－711．设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．解析当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．答案[－3,6]12．设函数f(x)，g(x)的定义域分别为M，N，且M是N真子集，若对任意的x∈M，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)是f(x)的“拓展函数”．已知函数f(x)＝log2x，若g(x)是f(x)的“拓展函数”，且g(x)是偶函数，则符合条件的一个g(x)的解析式是________．解析由题意可知，x＞0时，g(x)＝log2x，又函数g(x)是偶函数，故x＜0时，g(x)＝log2(－x)，所以g(x)＝log2|x|.答案g(x)＝log2|x|(其它符合条件的函数也可以)13．已知曲线y＝(a－3)x3＋lnx存在垂直于y轴的切线，函数f(x)＝x3－ax2－3x＋1在[1,2]上单调递增，则a的取值范围为________．解析由已知条件可得方程y′＝3(a－3)x2＋＝0(x＞0)，即3(a－3)x3＋1＝0有大于0的实数根，即得x3＝－＞0，解得a＜3，又由函数f(x)＝x3－ax2－3x＋1在[1,2]上单调递增，可得不等式f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在[1,2]上恒成立，即得a≤在[1,2]上恒成立，由函数y＝x－在[1,2]上单调递增可得，该函数的最小值为0，∴a≤0，综上可得实数a的取值范围为(－∞，0]．答案(－∞，0]14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为________．解析因为′＝，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以′＜0，令g(x)＝，则函数g(x)...
